Page 51 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1975 KANADA):
Bir çember üzerinde 4 nokta alınıp, 4 yay oluşturuluyor. Bu yayların orta noktala-
rının birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiğini gösteriniz.
Çözüm:

B B
B' B'

A' A'

O
C C P
A A
C' C'
D' D'
D D
1- O merkezli çember üzerindeki A, B, C ve D noktaları için s(AOB)=2α, s(BOC)=2β, s(COD)=2θ
ve s(DOA)=2ϕ diyelim. Şu halde α+β+θ+ϕ=180° ve çemberde iç açıdan s(A'PB')=90° bulunur.
Benzer şekilde s(B'PC')=s(C'PD')=s(D'PA')=90° olur ki bu A'C' ⊥ B'D' demektir.

Soru:
Bir çembere dışındaki T noktasından; çizilen teğetin değme noktası A, çizilen kesenin
çemberi kestiği noktalar B ve C dir. BTA açısının açıortayı [AB] ve [AC] yi sırasıyla P
ve R noktalarında kesiyorsa, IAPI=IARI olduğunu gösteriniz. (Teğet-Kesen teoremi)
Çözüm:
A A 1- s(TAB)=s(TCA)=α ve

s(ATR)=s(RTC)=β ile baş-
larsak, RCT ve APT
R R
P P üçgenlerinde (dış açıdan)
T T
s(ARP)=s(APR)=α+β olur.
B B Bu sayede PAR üçgeni
C C ikizkenar ve IAPI=IARI
olarak bulunur.

Soru (2006 LİTVANYA):
İki çember B noktasında dıştan teğettir. Bu çemberlerden birine A noktasında teğet olan
bir doğru diğer çemberi C ve D noktalarında kesiyorsa, A noktasının BC ve BD doğru-
larına eşit uzaklıkta olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- BK ortak teğetini çizip

D C A D C K A s(CBK)=α ve s(ABK)=β

L dersek s(BDC)=α ve
s(BAK)=β olur.
B B
H 2- ABD üçgeninde dış
açıdan s(ABH)=α+β
dır. Bu bize ALB ≅ AHB
ve IALI=IAHI olduğunu
söyler.
50