Page 52 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

Soru (1997 İMO-ARJANTİN):
En küçük açısı A olan bir ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde, B ve C noktalarının ayır-
dığı yaylardan, A noktasını içermeyen yay üzerinde bir U noktası alınıyor. [AB] ve [AC]
kenar orta dikmelerinin AU doğrusunu kestiği noktalar sırasıyla V ve W olmak üzere, BV
ile CW bir T noktasında kesiştiğinde IAUI=ITBI+ITCI olur. Kanıtlayınız.
Çözüm:
1- BV doğrusu çemberi K noktasında kes-
C C
sin. IAVI=IBVI demek IAUI=IBKI demek-
tir. Yani IBKI=IBTI+ITCI olduğunu göster-

meye yöneliyoruz. Görüldüğü üzere, AVB
U K U ve AWC üçgenleri ikizkenardır. s(VAB)=α
W W ve s(VAC)=β dersek s(VBA)=s(ACK)=α
V V
ve s(ACW)=β dan s(CKB)=s(KCT)=α+β
T T
A A olur.
B B
2- TCK ikizkenardır; ITCI=ITKI eşitliği bizi
IAUI=IBKI=IBTI+ITKI=IBTI+ITCI sonucu-
na götürür.
Soru (2006 JAPONYA):
O merkezli bir çember üzerinde beş farklı A, M, B, C, D noktası alınıyor.
IMAI=IMBI, AC ∩ MD = {P}, BD ∩ MC = {Q} olmak üzere, PQ doğrusunun çemberi
kestiği noktalar X ve Y ise, IMXI=IMYI olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- IMAI=IMBI verildiği için s(PCQ)=s(PDQ)
M M
yazabiliriz. Dikkat edilirse PDCQ bir kirişler
X X dörtgenidir (kirişler dörtgenini şimdi aşağı-
P B P B da inceleyeceğiz). Bu nedenle s(BDY)=β
ve s(YDC)=θ denildiğinde s(CPQ)=β+θ

Q Q olmaktadır.
ù
D D 2- P noktasında iç açıdan s(AX)=2β ve çevre
Y Y
açıdan s(BïY)=2β bulunur. Demek ki
C C IAXI=IBYI ve IMXI=IMYI dir.
3.5 Kirişler Dörtgeni ve Merkezil Dörtgen

3.5.1 Kirişler Dörtgeni

Köşeleri aynı çember üzerinde
olan dörtgene kirişler dörtge- D D D
ni denir. A A A

* Doğrusal olmayan üç nokta
çemberseldir.
* Kirişler dörtgeninde karşılıklı
açılar bütünlerdir.
* Karşılıklı açıları bütünler olan B B B
dörtgen bir kirişler dörtgenidir. C C C

51