Page 49 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Uyarı: Soru:
Bir çemberde çevre açının ölçüsünün, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün
Aşağıdaki şekillerde işlem yarısına eşit olduğunu gösteriniz.
basamaklarını siz sıralayınız.
Çözüm:
B
B B 1- POA ve POB ikizkenar üçgenleriyle
Q
2s(APB)=s(AOB) olacağı açıktır.

P O 2 P P
O O

A A A
s(AOB)=2 s(APB)=s(AQB)
Soru (1914 EÖTVÖS):
B
Bir A çemberi ABC üçgeninin [BC] kenarını A , A ; [AC] kenarını B , B ve [AB] kenarını
1 2 1 2
C , C noktalarında kesiyor. A noktasından [BC] ye, B noktasından [AC] ye ve C nok-
1
2
1
1
1
tasından [AB] ye çıkılan dikmeler bir noktada kesişiyorsa; A , B , C noktalarından
O 2 2 2
çıkılan dikmelerin de bir noktada kesişeceğini gösteriniz.
A Çözüm:
P
A A A
[AB] çap ⇒ s(APB)=90° C 2 C 2 C 2
Q Q
B 2 B 2 B 2
O B 1 O B 1 O B 1
C 1 C 1 C 1
P P P
O B B B
A 1 A 1 A 1
Q P A 2 C A o A 2 C A o A 2 C
B A
1- A , B , C noktalarından çıkılan dikmeler P noktasında kesişsin. A , B , C noktalarından çıkı-
1
1
1
2
2
2
lan dikmelerin, P noktasının O merkezine göre simetriği olan Q noktasında kesiştiğini göstere-
[AB] // [PQ] ⇒ s(AïP)=s(BïQ) ceğiz. Bu böyledir, çünkü; '' Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar.'' prensibiyle şunu
hemen söyleyebiliriz: Q noktası, A noktasından çıkılan dikme üzerindedir.
2
2- Benzer muhakeme ile Q noktası, B ve C den çıkılan dikmelerin üzerinde olur. Bu ise çözü-
2 2
mü tamamlar.
A
O
Soru (1985 İSVEÇ):
A, B ve C noktalarından geçen çemberin içinde bir D noktası alınıyor. BCD eşkenar
B P
üçgen ve IABI=IBCI olmak üzere, [AD] nin çemberi kestiği nokta E ise, IDEI uzunluğu-
|AB| =r ⇒ s(APB)=30° nun çemberin yarıçapına eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- O noktası çemberin merkezi ve s(DBA)=2α olsun.
Şu halde s(CBA)=60°+2α ve IABI=IBCI den
s(BAC)=60°-α dır.
2- BCD eşkenar olduğu için IABI=IBCI=IBDI ve
s(DAB)=s(ADB)=90°-α dır. Buradan s(EAC)=30°
olur ki aynı yayı gören çevre açıların eşitliğiyle
s(EBC)=30° bulunur. Yani, BE doğrusu DBC eşke-
narının hem açıortayı hem de yüksekliğidir.
3- Diğer taraftan s(EAC)=s(EBC)=30° ve s(EOC)=2.30°=60° olmasıyla EOC üçgeninin eşkenar
olduğu anlaşılır. Nitekim IEOI=IECI=IEDI den dolayı, IDEI uzunluğunun çemberin yarıçapına
48 eşit olduğu görülür.