Page 54 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 54

3. BÖLÜM                                                                    ÇEMBERLER - I


                                   Soru:
                                  ABC üçgeninin iç teğet çemberinin [AB] ve [AC] kenarlarına değme noktaları sırasıyla D
                                  ve E olmak üzere, B açısının açıortayının DE doğrusunu kestiği nokta T noktası ise,
                                  s(BTC) kaç derecedir?

                                  Çözüm:                            1-  İç merkez O olsun. [BT] açıortay doğrusunun
                                          A                 A         iç teğet çemberin merkezinden geçmesi
                                                                      gerekir. Yani O noktası [BT] üzerindedir. ABC

                                                                      üçgeninin iç açıları 2α, 2β ve 2θ alınırsa,
                                                                      s(ADE)=s(AED)=β+θ olur.

                                     D      T          D      T
                                              E                 E   2-  Biraz dikkat edilse, hem s(TOC)=β+θ hem de
                                                           O
                                                                      s(TEC)=180°−(β+θ) olduğu görülür. Bu bize
                                                                      TOCE dörtgeninin bir kirişler dörtgeni olduğu-

                                  B             C  B              C   nu söyler. Böylece
                                                                      s(BTC)=s(OTC)=s(OEC)=90° olduğu anlaşı-
                                                                      lır. (Geniş açılı üçgende durum nasıldır?)
                                   Soru:
                                  ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde s(AOC)=90°, IBEI=IECI ve s(BAO)=s(EAC) olacak
                                  şekilde O ve E noktaları alınıyor. Buna göre s(BAC) kaç derecedir?
                                  Çözüm:
                                        A                              A


                                                                                  D


                                  B     O      E              C  B    O       E              C
                                  1- s(BAO)=s(EAC)=α ve s(OAE)=β olsun. AOC dik üçgeninde muhteşem üçlü planlanırsa
                                    IADI=IDCI=IODI olur. Şu halde D ve E orta nokta olup [BA] // [ED] ve s(BAE)=s(AED)=α+β dır.
                                  2-  Dikkatli bakılırsa AOED nin bir kirişler dörtgeni olduğu görülür. Dolayısıyla s(EOD)=s(EAD)=α
                                    olur. Bu noktada hem s(AOC)=2α+β hem de s(BAC)=2α+β dır. O halde s(BAC)=90° dir.




                                   Soru (2000 ESTONYA):
                                  ABC üçgeninin [AB] kenarı üzerinde C ve C , [AC] kenarı üzerinde B ve B , [BC] kena-
                                                                1   2                   1    2
                                  rı üzerinde A ve A noktaları bulundukları kenarları üç eşit parçaya bölecek şekilde alı-
                                            1   2
                                  nıyor. A A B B C C 2  noktaları çembersel ise,  ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
                                              2
                                         1
                                          2
                                            1
                                                1
                                  Gösteriniz.
                                  Çözüm:
                                           A                    A          1- A A B B çembersel olarak veril-
                                                                               1 2 1 2
                                                                              miş. s(CA B )=α ise
                                                                                     2 1
                                                                              s(BA B )=180°-α ve s(CB A )=α
                                                                                 2 1            2 1
                                                                              olur.
                                       C 2                 C 2
                                               B 2                  B 2
                                                                           2-  Orta taban olgusuyla,
                                    C 1                 C 1                   s(CB A )=s(CB A )=s(CAB)=α dır.
                                                  B 1                 B 1        1 2     2 1
                                                                              Yine s(CA B )=s(CBA)=α olur,
                                                                                     1 2
                                                                 	
           nihayetinde s(CBA)=s(CAB)=α
                                  B                 C B                  C    bulunur.
                                        A 1  A 2             A 1  A 2
                                  Benzer biçimde s(A)=s(B)=s(C) olacağı için, ABC bir eşkenar üçgendir.
                                                                                                     53
   49   50   51   52   53   54   55   56   57   58   59