Page 54 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 54
3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I
Soru:
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin [AB] ve [AC] kenarlarına değme noktaları sırasıyla D
ve E olmak üzere, B açısının açıortayının DE doğrusunu kestiği nokta T noktası ise,
s(BTC) kaç derecedir?
Çözüm: 1- İç merkez O olsun. [BT] açıortay doğrusunun
A A iç teğet çemberin merkezinden geçmesi
gerekir. Yani O noktası [BT] üzerindedir. ABC
üçgeninin iç açıları 2α, 2β ve 2θ alınırsa,
s(ADE)=s(AED)=β+θ olur.
D T D T
E E 2- Biraz dikkat edilse, hem s(TOC)=β+θ hem de
O
s(TEC)=180°−(β+θ) olduğu görülür. Bu bize
TOCE dörtgeninin bir kirişler dörtgeni olduğu-
B C B C nu söyler. Böylece
s(BTC)=s(OTC)=s(OEC)=90° olduğu anlaşı-
lır. (Geniş açılı üçgende durum nasıldır?)
Soru:
ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde s(AOC)=90°, IBEI=IECI ve s(BAO)=s(EAC) olacak
şekilde O ve E noktaları alınıyor. Buna göre s(BAC) kaç derecedir?
Çözüm:
A A
D
B O E C B O E C
1- s(BAO)=s(EAC)=α ve s(OAE)=β olsun. AOC dik üçgeninde muhteşem üçlü planlanırsa
IADI=IDCI=IODI olur. Şu halde D ve E orta nokta olup [BA] // [ED] ve s(BAE)=s(AED)=α+β dır.
2- Dikkatli bakılırsa AOED nin bir kirişler dörtgeni olduğu görülür. Dolayısıyla s(EOD)=s(EAD)=α
olur. Bu noktada hem s(AOC)=2α+β hem de s(BAC)=2α+β dır. O halde s(BAC)=90° dir.
Soru (2000 ESTONYA):
ABC üçgeninin [AB] kenarı üzerinde C ve C , [AC] kenarı üzerinde B ve B , [BC] kena-
1 2 1 2
rı üzerinde A ve A noktaları bulundukları kenarları üç eşit parçaya bölecek şekilde alı-
1 2
nıyor. A A B B C C 2 noktaları çembersel ise, ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
2
1
2
1
1
Gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- A A B B çembersel olarak veril-
1 2 1 2
miş. s(CA B )=α ise
2 1
s(BA B )=180°-α ve s(CB A )=α
2 1 2 1
olur.
C 2 C 2
B 2 B 2
2- Orta taban olgusuyla,
C 1 C 1 s(CB A )=s(CB A )=s(CAB)=α dır.
B 1 B 1 1 2 2 1
Yine s(CA B )=s(CBA)=α olur,
1 2
nihayetinde s(CBA)=s(CAB)=α
B C B C bulunur.
A 1 A 2 A 1 A 2
Benzer biçimde s(A)=s(B)=s(C) olacağı için, ABC bir eşkenar üçgendir.
53