Page 57 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

A Soru (1995 TÜRKİYE):
Şekilde s(A)=58° ve O noktası ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. DBC açısı
58°
D kaç derecedir?
O Çözüm:
A 1- BO doğrusu çevrel çemberi P noktasında kestiğinde [BP] çap ve
B C
s(BCP)=90° olur. Aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğu için
58° P s(DBC)=s(PBC)=90°-58°=32° dir.
D
58°
O
B C

Soru (1977 KANADA):
O merkezli çemberin içinde bir X noktası alınıyor. Çember üzerindeki P noktası nasıl
ABCD merkezil
dörtgeni paralelke- seçilmelidir ki OPX açısının ölçüsü maksimum olsun?
nar (eşkenar dört-
gen) ise BDC 30°- Çözüm:
30°-120° ikizkenar A 1- X noktasından geçen ve [OX] e dik olan [AB] kirişini
P P
üçgenidir. ele alalım. AO uzantısı çemberi C noktasında kessin.
O ve X orta nokta olduğundan IOXI=t iken ICBI=2t dir.
X t X
O 2- P noktası AB büyük yayı üzerinde herhangi bir nokta
O Y
S olmak üzere, PX ve PO uzantıları çemberi Y ve R nok-
2t B talarında kessin. IPXI=IXSI olacak şekilde S noktası
R 2t
C işaretleyelim; IOXI=t iken IRSI=2t olur.
3- RYS dik üçgeninde IRYI<2t dir. Yani [RY] kirişini gören çevre açı, [CB] kirişini gören çevre açı-
dan küçüktür. Böylece problemde istenen maksimum açı için, A veya B noktalarının uygun ola-
cağını anlarız.

3.6 Üçgenin Merkezleri

Üçgen gibi basit bir şeklin bitmez tükenmez özellikler taşıması hayret vericidir. Şimdiye kadar
bütün üçgenler için geçerli olan yüzlerce ilginç nokta bulunmuştur. Bu merkezlerin her biri farklı
düşüncelere dayandırılmıştır; fakat bu, bunların birbirleriyle ilişkileri yok anlamına gelmez. Aksine
konular ilerledikçe bunların birbiriyle olan ilişkilerini inceleyeceğiz. İleride biraz daha ayrıntılı ola-
rak ele alacağımız üçgen merkezlerinden sadece dört tanesinin tanımını burada vereceğiz.

1) İç Teğet Çemberin Merkezi

A A
Bir üçgende açıortaylar üçgenin iç
bölgesinde bir noktada kesişir. Bu
nokta üçgenin kenarlarına içten
teğet olan çemberin merkezidir. Bu
I r
merkeze iç teğet çemberin merke- I
zi denir. Genellikle iç merkez '' I ''
ile, yarıçap ise ''r'' ile gösterilir. B C B C

56