Page 60 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

A
Soru (1925 EÖTVÖS):
Bir dik üçgende ispat ediniz ki içteğet çemberinin yarıçapı, hipotenüs uzunluğu-
nun ünden ve kısa kenar uzunluğunun sinden küçüktür.
r

B C Çözüm: d A
1- Farzedelim ki IACI<IBCI olsun. A noktasından
BC ye paralel olan d doğrusunu çizelim.
Çemberin çapının, bu iki paralel arası uzaklık- D k
tan küçük olduğu açıktır. Bu açıdan r
dir.
B C
2- Şimdi de yarıçapın, hipotenüs uzunluğunun ünden küçük olduğunu gösterelim. D noktası
[AB] nin orta noktası olmak üzere, C noktasından AB ye paralel olan k doğrusunu çizelim.
Bu iki paralel arası uzaklık ICDI den küçüktür.
Dolayısıyla elde edilir. Bizde bunu göstermek istiyorduk.

Soru (2008 SİNGAPUR):
ABC üçgeninde I noktası; üçgenin [AB], [BC] ve [AC] kenarlarına sırasıyla E, D ve F
a
noktalarında değen, A açısına ait dış teğet çemberin merkezidir. B noktasından I C ye
a
indirilen dikme ayağı H ise, E-H-F noktaları doğrusaldır. Kanıtlayınız.
Çözüm:
1- El HB ve DBEl kiriş
E E a a
dörtgenleri aynı çapa
B B sahiptir. IBDI=IBEI
I a I a olduğu için
D H D H s(BHD)=s(BHE) dir.
A C F A C F
2- Ayrıca DHC ve CHF üçgenleri eş olduğu için s(DHC)=s(FHC) dir. Sonuçta s(EHF)=180° olur.
Bu ise iddiayı doğrular.
Soru (2003 İRLANDA):
ABCD dörtgeninde; D noktasından AB ve BC ye çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P ve
Q, B noktasından AD ve DC ye çizilen yükseklik ayakları sırasıyla R ve S olmak üzere,
s(PSR)=s(SPQ) ise, IPRI=IQSI olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
P P 1- P, Q, R, S noktaları [BD] çaplı çember üzerin-
dedir. Bir çemberde eşit açının gördüğü kirişler
D D
A A eşittir. Bu yüzden IPRI=IQSI olmalıdır.
R R

B C Q B C Q
S S
59