Page 62 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

3. BÖLÜM ÇEMBERLER - I

Soru ( 2009 TÜRKİYE ):
ABC üçgeninin iç teğet çemberi, BC, AC ve AB kenarlarına sırasıyla, A , B ve C nok-
1 1 1
talarında teğettir. AA doğrusu, iç teğet çemberi ikinci kez Q noktasında kesiyor. A C ve
1 1 1
A B doğruları, A noktasından geçen ve BC ye paralel olan doğruyu sırasıyla, P ve R
1
1
noktalarında kesiyor. s(PQC )=45° ve s(RQB )=65° ise, s(PQR) nedir?
1 1
Çözüm: 1- s(AC P)=α, s(AC Q)=β,
1
1
1 1
P A R P A R s(QC B )=θ dersek
s(BC A )=s(BA C )=α,
1 1
1 1
s(QB C )=s(QA C )=β ve
65° 65° 1 1 1 1
45° Q B 1 45° Q B 1 s(QA B )=θ olur. PR // BC verildiği
1 1
C 1 I C 1 I için s(RAA )=s(BA A)=α+β dır. Şu
1 1
halde s(PC Q)=s(RAA )=α+β dan
1
1
PAQC kirişler dörtgeni ve
1
B A 1 C B A 1 C s(APQ)=β olur.
2- Benzer muhakemeyle s(QA B )=s(QB A)=s(QRA)=θ olur. PQR üçgeninden s(PQR)=180°-(β+θ) ve
1 1 1
QC A B kirişler dörtgeninden s(C QB )=180°-(β+θ) dır. Q noktasındaki açıların toplamı 360° ise
1 1 1 1 1
s(PQR)=125° dir.
Soru (1930 EÖTVÖS):
Çevrel çemberinin yarıçapı R olan dar açılı üçgen içerisinde bir nokta alınıyor.
Bu noktanın herhangi bir köşeye olan uzaklığının R den büyük ve yine bu noktanın
herhangi bir köşeye olan uzaklığının R den küçük olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- Dar açılı üçgenin çevrel çemberinin merkezinin,
A A üçgenin içerisinde olduğunu biliriz. Bu merkez
PAB, PBC ve PCA üçgenlerinden birinin içeri-
sindedir. Biz O merkezini, PAC üçgeninin içeri-
sinde düşünelim. Şu halde
O
O P
P IPAI+IPCI>IOAI+IOCI=2R dir. Demek ki IPAI
R
veya IPCI uzunluklarından biri R den büyüktür.
Böylece alınan noktanın, bir köşeye olan uzak-
B C B C
lığının R den büyük olduğunu göstermiş olduk.
2- Benzer şekilde P noktasını; OAB, OBC ve OCA üçgenlerinden birinin içerisinde düşündüğü-
müzde çözüm tamamlanacaktır.
Soru (1988 İRLANDA):
ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde, A noktasının karşısındaki BC yayının ortasın-
da bir E noktası alınıp, [ED] çapı çiziliyor. Buna göre, DEA açısının ölçüsünün B ve
C açılarının ölçüleri farkının yarısına eşit olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
E E 1- E orta nokta olduğu için s(OEC)=s(OEB) dir.
A noktasını D ve C noktaları arasında alır-
sak, s(C)=s(AEB)=s(OEB)+s(DEA) ve
B B
s(B)=s(AEC)=s(OEC)-s(DEA) yazabiliriz.
O O
C C Bu eşitlikler taraf tarafa çıkartılırsa,
|s(B)-s(C)|=2s(DEA) bulunur ve
kanıt biter.
D D
A A 61