Page 157 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

156 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

9. Düzlem üzerindeki 101 noktadan, herhangi iki üçlünün en az bir ortak noktası
bulunacak biçimde nokta üçlüleri seçiliyor. Bu özelli˘ ge sahip nokta üçlülerinin
maksimal sayısı kaçtır?
Çözüm : Noktalardan birini i¸saretleyelim ve i¸saretlenmi¸s noktanın ortak nokta oldu˘ gu
tüm nokta üçlülerini sayalım. Bunların sayısı 101 − 1 = 100’ün tüm ikili kombinas­
yonlarıdır, yani ¡ 100 ¢ sayısıdır. Öte yandan, ¡ 100 ¢ = 4950 oldu˘ gundan ve yanıtlar
2
2
˙
içerisinde en büyük sayı 4950 oldu˘ gundan, do˘ gru cevap E’dir. (Not: Istenen sayının
gerçekten, ¡ 100 ¢ oldu˘ gu bilinmektedir).
2
10. Bir ikizkenar üçgenin içine, tabanı üçgenin tabanı üzerinde
olmak üzere bir kare çizilmi¸stir. Karenin ve üçgenin a˘ gırlık
2
merkezleri çakı¸sıyorsa ve karenin alanı 1 br ise üçgenin alanı
kaç br dir?
2
Çözüm :
|OM| =  diyelim. |OB| =2 ve |OL| = |OM|
oldu˘ gundan, |BL| =  olur. B
4 4 |BL|  1
BLE ∼ ENC ve = = t
|EN| 2 2
L E
oldu˘ gundan, |LE| = 1 olur. O halde, t O .
|NC| 2
|NC| =2|LE| =2 t
A C
ve buradan M N
|MC| =  +2 =3
olur. Buna göre,
4 1 2 4 1 2 2
(BMC)= (3) ve (ABC)= 2 · (3) =9
2 2
1 4 9
2
olur.  = br oldu˘ gundan, (ABC)= br bulunur.
2 4
11. 10 tane farklı nesne ve bundan ba¸ska 10 tane de birbirinin aynısı olan nesne
verilmi¸stir. Bu 20 nesneden kaç de˘ gi¸sik biçimde 10 nesne seçmek mümkündür?
Çözüm : 10 farklı nesneden seçilebilecek tüm altkümeler sayısı 2 dur(bo¸s
10
küme, tüm tek elemanlı, iki elemanlı,..., on elemanlı kümelerin toplam sayısı ). ¸Simdi,
bu altkümelerden herhangi birini alalım ve onun elemanlar sayısını, aynı nesneli kü­
menin elemanlarını kullanarak, 10’a tamamlayalım. Böylece, 10 nesneyi tam olarak,
2 10 farklı biçimde seçebiliriz.