Page 196 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 195

19. a 3 =3 ve her n ≥ 1 için a +2 = a +1 −a  ba˘ gıntısı ile tanımlanmı¸s
bir a 1 a 2 , ..., a , ... dizisinin ilk 100 teriminin toplamı 100 ise, ilk 111 teriminin

toplamı kaçtır?
Çözüm :

 +3 =  +2 −  +1 =( +1 −   ) −  +1 = −  ⇒  +3 = − 
oldu˘ gundan dizinin herhangi altı ardı¸sık numaralı teriminin toplamı sıfırdır. Buna
göre,
100 =  1 +  2 + ·· · +  100 =  1 +  2 +  3 +  4 =  2 +  3 =  2 +3
olur. Buradan,  2 =97 1 =  2 −  3 =97 − 3=94 bulunur.
Böylece, 111≡ 3(mod6) oldu˘ gundan,
 1 +  2 + ··· +  100 +  111 =  1 +  2 +  3 = 94 + 97 + 3 = 194
elde edilir.

¡ 2 ¢ 2
20. x =1 − 2 1 − 2x denkleminin kaç reel çözümü vardır?
Çözüm : 1 − 2 =  olsun. Bu durumda, verilen denklemden  =1 − 2 olur.
2
2
Böylece, elde edilen
2
1 − 2 =  ¾
2
1 − 2 = 
denklem sisteminden,
¡ 2 2 ¢
 −  =2  −  ⇒ ( − )(1 − 2 − 2)=0
1
⇒  =  veya  = − 
2
elde edilir. Bu iki durumu ayrı­ayrı inceleyelim.
2
2
2
i)  =  ⇒ 1 − 2 =  ⇒ 2 +  − 1=0 4 =1 +4 · 2 · 1  0
1 1 2
2
2
ii)  = −  ⇒ 1 − 2 = ⇒ 4 − 2 − 1=0 4 =(−2) +4 · 4 · 1  0
2 2
elde edilir. Her iki durumda da denklemlerin birbirinden farklı iki¸ser kökü vardır.
Dolayısıyla, problemde verilen denklemin 4 farklı çözümü vardır.