Page 198 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2001 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 197

5. ABCD karesinin [AB] kenarı üzerinde E noktası ve [AD] kenarı üzerinde F
noktası, AFEaçısı 15 olacak biçimde alınmı¸stır. [EF] ile [AC]’nin kesi¸sti˘ gi nokta
◦
b
1 1
Golmak üzere |AG| =1 ise, + toplamı kaçtır?
|AE| |AF|
Çözüm :
A F D
4 4 4
(AEF)= (AEG)+ (AGF) e¸sitli˘ ginden
E G
◦
|AE|·|AF| = |AE|·|AG| sin 45 + |AG|·|AF|· sin 45 ◦
√
2
= (|AE| + |AF|)
2
1 1 √ B C
olur. Buradan, + = 2 bulunur.
|AE| |AF|
Not : Görüldü˘ gü gibi, sonuç AFE açısının de˘ gerinden ba˘ gımsızdır.
b
37
73! 41 96!
6. n =37 +73 +69 sayısının onluk sayı sistemindeki yazılımında son
iki basamak nedir?
73! 41 37 96!
Çözüm :  =37 +73 +69 sayısının 100 ile bölümünden kalan bulunmalıdır.
¡ ¢
Bunun için Euler Teoremi  () ≡ 1(mod ); ( )= 1 kullanılırsa,
¡ 2 2 ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
2
2
 (100) =  2 · 5 =  2 ·  5 =2 · 20 = 40
oldu˘ gundan
37 73! ≡ 1 (mod 100)
69 96! ≡ 1 (mod 100)
olur. Ayrıca, 41 37 ≡ 1 (mod 40) e¸sitli˘ ginden
41 37 =40 +1 ⇒ 73 41 37 ≡ 73 (mod 100)
bulunur. O halde cevap 73+1+1=75 olur.

1 9 25
7. x> 0,y > 0,z > 0 ve x + y + z =1 olmak üzere + + ifadesinin
x y z
alabilece˘ gi en küçük de˘ ger kaçtır?
Çözüm : Harmonik­Aritmetik ortalamalar e¸sitsizli˘ gi kullanılırsa,
9  +  +  1
1 3 3 3 5 5 5 5 5 ≤ 9 = 9
+ + + + + + + +
        
olur. Buradan
1 9 25
+ + ≥ 81
  
1 1 5
olur. E¸sitlik durumu,  =  = ve  = için elde edilir.
9 3 9