Page 191 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 191
190 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
7. [AB] çaplı yarım çemberin AB yayının D
orta noktası C ; BC yayı üzerinde B ve
C den farklı bir nokta P; CP ile AB
do˘ grusunun kesi¸sim noktası E ; E’den C P
geçen ve AB do˘ grusuna dik olan do˘ gru ile 10
AP do˘ grusunun kesi¸sim noktası D olmak
A O
üzere, |AB|=6 ve |DE|=10 ise, |EP|·|EC| 6 B E
nedir?
Çözüm : B, P, D, E nokta
ları çemberseldir. Ayrıca, aynı
yayı gören açıların e¸sitli˘ gin D
den ve C’nin AB yayının orta
noktası olmasından dolayı
C
(APC)= (ABC)= 45 ◦ P
b
b
10
olur. ¸Simdi,
45 = (ABC)= (APC)
◦
b
b
= (EPD)= (EBD)
b
b
A O E
oldu˘ gundan, DBE dik üç B
geninde |BE| = |ED| =10
olur. Böylece, kuvvet kuralın
dan,
|EP|·|EC| = |EB|·|EA| =10 · 16 = 160
elde edilir.
¯ ¯
2
8. Her x ∈ [−1, 1] için 2x +ax + b ≤ 1 e¸sitsizli˘ ginin sa˘ glanmasını garanti
¯
¯
eden reel a ve b sayıları için a +b kaçtır?
2
2
Çözüm : −1 ≤ 2 + + ≤ 1’de =0 =1 ve = −1 yerle¸stirilirse,
2
sırasıyla,
) − 1 ≤ ≤ 1
) − 3 ≤ + ≤−1
) − 3 ≤ − ≤−1
elde edilir. ) ve ) taraf tarafa toplanırsa,
) −3 ≤ ≤−1
olur. ) ve )’den ise = −1 bulunur. Bu durumda ) ve )
) − 2 ≤ ≤ 0
) − 2 ≤− ≤ 0
olur. Böylece =0 elde edilir. O halde, + =0 + 1 =1 buluur.
2
2
