Page 194 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2000 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 193

Çözüm : OCB dik üçgeninde |BC| =  oldu˘ gu
gözönüne alınırsa, C
2 2 2
(2 − ) =  +   r
2
2
2
4 − 4 +  =  +  2 A r O M B
 3 R - r R
2
olur. Buradan, 3 =4 ve böylece =
 4
bulunur.
n 2
15. a  =  , (n =1, 2, 3,. ..) dizisinin en büyük terimi kaçıncı
(1, 001)
terimdir?
Çözüm :  2 ( +1) 2
   +1 ⇔   +1
(1 001) (1 001)
2
⇔ (1 001)   ( +1) 2
2
⇔ 1001  1000 ( +1) 2
2
⇔  − 2000 1000
⇔ ( − 2000)  1000
⇔  ≥ 2001
oldu˘ gundan, en büyük terim 2001’inci terimdir.

16. 30 farklı kitap, her bir bölmesi 30 kitap alabilen 7 bölmeli bir rafa kaç de˘ gi¸sik
biçimde dizilebilir? (bazı bölmeler bo¸s kalabilir).
Çözüm : Bölmeleri birbirinden ayırmak amacıyla,30 kitaba 7 − 1= 6 defter ekle­
yerek, 6’sı aynı ve 30’u farklı olan 36 nesnenin (tekrarlı) permütasyonları sayılmalıdır.
O halde cevap 36!6! olur.

17. Tüm pozitif tam sayılardan olu¸san küme N ile gösterilmek üzere, f : N → N
fonksiyonu,
i) m ve n aralarında asal olunca , f(mn)= f(m)f(n);
ii) p ve q asal olunca, f(p + q)= f(p)+ f(q)
özelliklerine sahipse, f(100) kaçtır?
Çözüm : () özelli˘ gine göre,  (3 + 3) =  (3 · 2) =  (3) ·  (2) ve
() özelli˘ gine göre ise,  (3 + 3) =  (3) +  (3) = 2 (3)
oldu˘ gundan,  (2) = 2 bulunur. Yine () özelli˘ ginden,  (4)= (2+2)=2 (2)=4 olur.
¸ Simdi,  (100) =  (4 · 25) =  (4) · (25) = 4 (25) e¸sitli˘ ginden  (100)’ün4ile
tam bölündü˘ gü görülür. O halde, do˘ gru yanıt E seçene˘ gi olur.