Page 193 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

192 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

12. Bir ABC üçgeninin [AB] kenarının orta noktası D ile; D, B ve C noktaların­
dan geçen çemberin [AC] kenarı ile (ikinci defa) kesi¸sim noktası E ile gösterilmek
2
|EB|
üzere, |AC| =3|AE| ve m(EBC)=90 ise , kaçtır?
◦
b
2
|BC|
Çözüm : |AE| = ; D, B ve C’den geçen çem­
A
berin merkezi O olsun. Bu durumda, |EO| =
|OC| =  olur. |AD| = |DB| =  olsun. kuvvet x
2
2
kuralından, 2 =3 dir. (AEB)=  de­ y E
b
4 4
nilirse,. AEB ve BEO üçgenlerine kosinüs kuralı x
uygulanarak, D
O
2
2
2
4 =  + |EB| − 2 |EB| cos  y x x
2
2
2
 =  + |EB| − 2 |EB| cos (180 − )
◦
B
oldu˘ gu görülür. Bu iki e¸sitlik taraf tarafa C
toplanırsa
2 2 2 2
4 +  =2 +2 |EB|
ve buradan, 2 =3 oldu˘ gu gözönüne alınarak,
2
2
5
2 1 ¡ 2 2 ¢ 2
|EB| = 4 −  = 
2 2
4
elde edilir. EBC dik üçgeninden
µ ¶
5 3
2
2
2
2
|BC| =4 − |EB| = 4 −  =  2
2 2
2
olur. Böylece, |EB| = 5 bulunur.
2
|BC| 3
13. a, b, c ∈ Z olmak üzere, ax +bx + c =0 denkleminin diskriminantının
2
47 olmasını sa˘ glayan kaç tane (a, b, c) üçlüsü vardır?
Çözüm :  −4 =47 ko¸sulunu sa˘ glayan hiç (  ) tamsayı üçlüsü yoktur; çünkü,
2
2
2
 − 4 ≡ 1(mod 4) veya  − 4 ≡ 0(mod 4)
oldu˘ gu halde, 47 ≡ 3(mod 4)’tür.
14. Yarıçapı r olan çember, yarıçapı R olan çembere A noktasında içten te˘ get­
tir. Dı¸staki çemberin herhangi bir B noktasından içteki çembere çizilen te˘ getin
r
de˘ gme noktası C ve 2|BC| = |BA| ise, nedir?
R