Page 199 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

198 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

8. 8 × 8 boyutlu bir kare bulmaca hazırlanacaktır. 8 siyah kare öyle yerle¸stirile­
cektir ki, soldan sa˘ ga ve yukarıdan a¸sa˘ gıya olu¸sacak en az 2 harfli sözcük sayısı
olabilecek en büyük de˘ gerine kavu¸ssun. Bu en büyük de˘ ger kaçtır?

Çözüm : Önce merkezdeki 6 hane ¸sekildeki gibi boyanır, daha
sonra, örne˘ ginensol ve en sa˘ gdaki A ve B haneleri boyanırsa 30 * * B
kelimelik bir kare bulmaca elde edilmi¸solur. A * *
* *

9. Kaç tane a reel sayısı için
|y +100| + |y +99| + ··· + |y| + ·· · + |y − 99| + |y − 100| = a
denkleminin yalnızca bir reel çözümü vardır?
Çözüm : | + 100| + | +99|+·· ·+|| + ···+| − 99| + | − 100| =  denkleminde,
sol taraf ’nin çift fonksiyonudur. Buna göre,  0 bir çözüm ise, − 0 da çözümdür. O
halde tek çözüm olması için  0 = − 0  yani  0 =0 olmalıdır. Böylece,
 =2 · (1 + 2 + ··· + 100)
olur. Yani, sadece bir  de˘ geri vardır.

10. ¸Sekilde ABC dik üçgeninin dik kenarları üzerinde F ve A
G noktaları alınarak, hipotenüse [GK] ve [FH] dikmeleri
çizilmi¸stir. |BC| =3, |AB| =4 oldu˘ guna göre H
|HF| + |FG| + |GK| F
toplamının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger nedir? K
B G C
Çözüm : Üçgenin dik kenarlarına göre
simetrisi alınırsa, A
¯ ¯
|FH| = |FH | ve |GK| = GK 0 ¯
0
¯
H 1 H
olur. Böylece, problem:
¯ ¯
|H F| + |FG| + GK 0 ¯ F K
0
¯
toplamının en küçük de˘ gerinin bulunmasına C 1 C
indirgenir. Bu minimum de˘ ger AC A Ce¸ske­ B G 1
0
0
nar dörtgeninin yüksekli˘ gine yani alanın ta­ K
bana oranına e¸sittir. O halde, e¸skenar dört­
3 · 4
genin alan formülünden  =4( )= 24
2
oldu˘ gundan, istenen de˘ ger, A 1
24 24
√ =
2
3 +4 2 5
olarak bulunur.