Page 197 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2001 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

2
1. x +px +qx − 2001 = 0 denkleminin kökleri a, b, c ise, p −2q ifadesi
3
2
neye e¸sittir?
3
2
Çözüm :  +  +  − 2001 = 0 denklemi için, Vieta teoreminden,
 = − ( +  + )  =  +  + 
2
2
2
2
ve buradan da  − 2 =  +  +  olur.
x +5

2. 2 = denkleminin tamsayılar kümesinde kaç tane çözümü vardır?
4 − 4x
 +5

Çözüm : 2 = denkleminde, her  ∈ R için,
4 − 4
 +5

2  0 ⇒  0 ⇒−5  1 ⇒−4 ≤  0
4 − 4
olur. Deneme yolu ile  = −3 = −2 ve  = −1 için denklemin sa˘ glandı˘ gı ve
 = −4 ve  =0 için ise sa˘ glanmadı˘ gı görülür.
3. db|x|ce, x’in tam de˘ ger fonksiyonu olmak üzere, {x} = x− db|x|ce olarak tanım­
lansın. Her x reel sayısı için, x = f(x)+ f({x}) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan f fonksi­
yonunun x = −17/7 noktasındaki de˘ geri nedir?
Çözüm :  = ()+ ({}) e¸sitli˘ ginde  = −177 yazılırsa,
µ ¶ µ ¶
−17 17 4
=  − + 
7 7 7
µ ¶ µ ¶ µ ¶
4 4 4 4 4 2
olur.  = yazılırsa =  +  ⇒  = bulunur. Bu de˘ ger ilk
7 7 7 7 7 7
e¸sitlikte yerine yazılarak
µ ¶
−17 17 2 19
 = − − = −
7 7 7 7
elde edilir.
½ 2
2y =4 − x
4. 2 denklem sisteminin çözümü olan kaç tane (x, y) reel sayı
2x =4 − y
ikilisi vardır?
½ 2
2 =4 − 
Çözüm : 2 denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa,
2 =4 − 
( − )(2 − ( + )) = 0
olur.  −  =0 ve  +  =2 durumlarının herbiri için denklemin iki çözümü vardır.
Dolayısıyla, denklemin 4 çözümü vardır.