Page 200 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2001 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 199

˙
11. Iki çocu˘ gu olan Ahmet Bey, o˘ glunun bugünkü ya¸sında iken, kızının do˘ g­
masına 16 yıl vardı. O˘ glu kızının bugünkü ya¸sında iken, Ahmet Bey’in ya¸sı
o˘ glunun ya¸sının 4 katı idi. Ahmet Bey ilk kez kaç ya¸sında baba olmu¸stur?
Çözüm : Baba, o˘ gul ve kızın ¸su andaki ya¸sları sırasıyla    olsun. Biz, ( − )
farkını bulmalıyız. Verilenlere göre,

 − ( − )= −16 ve  − ( − )= 4
denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümünden
 =8 ve  −  =3 =24
bulunur.

12. 30 farklı kitap 3 ki¸siye, ki¸silerdeki kitapların sayısı bir aritmetik dizi olu¸stu­
racak biçimde kaç farklı ¸sekilde da˘ gıtılabilir? (Aritmetik dizinin ilk terimi sıfır
olabilir.)
30
Çözüm : Ki¸silerden biri 10 kitap alacaktır. Bu ki¸siye 10 kitap ¡ ¢ sayıda yolla
10
verilir. Geriye kalan 20 kitabın her birinin 2 "seçene˘ gi" bulundu˘ gundan, bu 20 kitap
2ki¸si arasında 2 20 yolla da˘ gıtılabilir. Aritmetik dizinin orta terimi (10) bu ki¸silerden
¡ ¢
20 30
herhangi birine rastlayaca˘ gından, da˘ gıtım sayısı 3·2 · 10 olur. Bu sayıdan fazla
¡ ¢ ¡ ¢
30 20 sayısı çıkarılırsa tüm farklı da˘ gıtım sayısı elde edilir.
sayılan 2 · ·
10 10
a −1
13. a 0 =1 ve her n ≥ 1 için a  = biçiminde tanımlanan (a  ) 
2
n ·a −1 +1
n =0, 1, 2, 3, ... dizisi için a 11 nedir?
1
2
Çözüm : I.yol :   = denilirse,   =  +  −1 e¸sitli˘ ginden,
 
  −  −1 =  2
olur. Buradan
  −  0 =(  −  −1 )+( −1 −  −2 )+ ·· · +( 2 −  1 )+ ( 1 −  0 )
 ( +1) (2 +1)
2
2
2
2
=1 +2 +3 + ·· · +  =
6
 ( +1) (2 +1)
e¸sitli˘ ginden   = +1 elde edilir. Böylece,
6
11 · 12 · 23 1 1
 11 = + 1 = 507 ve  11 = =
6  11 507
bulunur.
II. yol :  =1 2 3 için do˘ grudan hesaplanarak,   için bir formül bulunabilir ve
formülün do˘ grulu˘ gu tümevarımla kanıtlanır.