Page 202 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2001 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 201

2
2
16. x ve y reel sayıları x −3xy =10 ve y −3yx =5 e¸sitliklerini sa˘ glarsa,
3
3
2
x +y ifadesi kaçtır?
2
¡
¡
¡
2
3
2
2
3
Çözüm : 10 +5 =  − 3 2 ¢ 2 +  − 3 2 ¢ 2 =  +  2 ¢ 3 oldu˘ gundan
2
 +  =5 bulunur.
2
17. ¸Sekildeki ABCD konveks dörtgeninde, [AB] ve A
[CD] kenarlarının her biri 5 e¸sit parçaya bölün­ 1 D
mü¸s ve ortaya çıkan küçük dörtgenler numara­ 2
12 3
landırılmı¸stır. 1 numaralı dörtgenin alanı ve 5
5 4
46
numaralı dörtgenin alanı birim ise, 4 numaralı 5
5 B C
dörtgenin alanı nedir?
Çözüm : Dörtgenlerin alanları bir aritmetik dizi olu¸sturuyor. Aritmetik dizinin dizi
farkına  denilirse, 9 2=2 4+4 e¸sitli˘ ginden  =1 7 bulunur. Böylece, 4
numaralı dörtgenin alanı 9 2 − 1 7=7 5 olur.
Not : Alanların aritmetik dizi olu¸stur­
du˘ gunu görmek için ortadaki "beyaz" üç­
genin yüksekli˘ ginin di˘ ger iki "beyaz" üç­
genin yüksekliklerinin aritmetik ortala­
ması oldu˘ gunu görmek yeter (yamu˘ gun
orta tabanının özelli˘ gi).

18. 60 ardı¸sık do˘ gal sayı içinden, toplamları 3 ile bölünebilen üç farklı sayı kaç
farklı ¸sekilde seçilebilir?
Çözüm : 60 sayı, birbirleriyle kesi¸smeyen
A : 3 ile tam bölünenler;
B : 3 ile bölününce 1 kalanını verenler;
C : 3 ile bölününce 2 kalanını verenler;
¸ seklinde 3 sınıfa ayrılsın.
¡ ¢
20
Bu durumda, seçilen 3 sayının üçünün de aynı sınıftan olması durumu : 3 · ;
3
seçilen 3 sayının birinin A’dan, birinin B’den, birinin den C’den olması durumu :
¡ ¢¡ ¢¡ ¢ £¡ ¢¤ 3
20 20 20 = 20
1 1 1 1
µ ¶ 3
¡ ¢ £¡ ¢¤ 3 20! 20!
20 20
olur. O halde, 3 · + =3 · + = 11420 farklı seçenek
3 1 17! · 3! 19! · 1!
vardır.