Page 203 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

202 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

19. Yarıçapları 4 ve 8 olan, birbirlerine A noktasında dı¸stan te˘ get iki çember
verilsin. Büyük çember üzerinde alınmı¸s bir B noktasından, küçük çembere bir
√
C noktasında te˘ get olan do˘ gru çizilmi¸stir. |AB| = 2 ise, |BC| nedir?
Çözüm : BA do˘ grusunun küçük çemberle
ikinci kesi¸sim noktası D olsun. D

(BO 1 A)= (DO 2 A) oldu˘ gundan,
c
c
4 4 O 1 A
BO 1 A ∼ DO 2 Aolur. Buradan da, O 2
|AD| |O 2 D| 4 1
= = =
|AB| |O 1 B| 8 2
√ B C
1 2
e¸sitli˘ ginden |AD| = |AB|· = olur. O halde, kuvvet formülü kullanılarak,
2 2
√
√ √ 2
2
|BC| = |BA|·|BD| = 2 · ( 2+ )= 3
2
√
e¸sitli˘ ginden |BC| = 3 elde edilir.
20. ABC dik üçgeninde C noktasından hipotenüse (yani [AB] kenarına) indirilen
yüksekli˘ gin hipotenüsle kesi¸sim noktası H olmak üzere, |AH| =5 ve |BH| =7
birimdir. [CH] yüksekli˘ gini çap olarak kabul eden çembere A ve B noktalarında
çizilen ([AB]’den farklı) te˘ getlerin çembere de˘ gme noktaları sırasıyla F, K ve bu
te˘ getlerin kesi¸sim noktası G olsun. Bu durumda |FG| uzunlu˘ gu kaçtır?
Çözüm : A¸sa˘ gıdaki çözümden görülebile­
ce˘ gi gibi, |AH| ve |BH| uzunluk­ G
ları yerine sadece onların toplamları x C x
bilinse, problem yine çözülebilir. K
F
|FG| = |KG| =  |AH| =  ve
|HB| =  olsun.  +  = z
√ y
12’dir. O halde, |CH| =  olur.
Ayrıca, GAB üçgeninin içte˘ get çem­
berinin yarıçapının uzunlu˘ gu A y H z B
√ √
|CH| 2= 2 olur. GAB üçgeninin alanı, 2 =  +  +  ve  = 2 olmak
üzere
p
 =  ( − )( − )( − )=  ·  ve  =  · 
formülleriyle hesaplanabilir. Buna göre,
p 1√
( +  + )  =( +  + ) 
2
e¸sitli˘ ginden  =( +  + ) 4 olur.  +  =12 oldu˘ gundan,  =( + 12) 4 olur
ki, buradan  =4 elde edilir.