Page 204 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2002 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

√
1. 2000 2002 sayısının onluk sayı sisteminde yazılı¸sında sa˘ gdan sıfırdan farklı
ilk rakam nedir?
√
Çözüm : 2000 2002 = 2000 1001 =2 1001 · 1000 1001 oldu˘ gundan sa˘ gdan sıfırdan
farklı ilk rakam için 2 1001 e bakılır. 2 1001 =2 · 2 1000 =2 · 16 250 ve 16’nın her pozitif
tamsayı kuvvetinin son rakamı 6 oldu˘ gundan, 2 · 16 250 nin son rakamı 2 olur.
2. a, b · c = a + b + c e¸sitli˘ gini sa˘ glayan sıfırdan farklı a, b ve c rakamları
2
2
2
için a +b +c toplamı neye e¸sittir? (Burada a, b : "a tam onda b")
Çözüm :   ·  =  +  +  e¸sitli˘ gi, 10 +  =10 ( +  + ) veya
 =10 ( +  +  − )
¸ seklinde yazılırsa,  ve ’den birinin 5, di˘ gerinin ise çift sayı oldu˘ gu görülür.
 =5 ise,  =8 − 10 e¸sitli˘ ginden  =2,  =6 olur.
2 +10 11
 =5 ise,  = =1 + e¸sitli˘ ginden 2 − 1=11’den  =6
2 − 1 2 − 1
2
2
2
2
2
2
ve buradan da  =2 olur. Her iki durumda da,  +  +  =5 +2 +6 =65
bulunur.
˙
3. Iki (farklı veya e¸sit) asal sayının çarpımı biçiminde gösterilebilen her sayıya
"iyi sayı" diyelim. n, k ∈ N olmak üzere, n +1,n +2,.. .,n + k sayılarının
her biri "iyi sayı" ise, k en fazla kaç olabilir?
Çözüm : Dört tane ardı¸sık sayının her biri "iyi sayı" olamaz. Çünkü dört ardı¸sık
sayıdan biri 4’e bölünece˘ ginden 4 biçimindedir.  =1 için, 4,5,6,7 dörtlüsünden
sadece ikisi "iyidir".  1 için, 4 =2 · 2 ·  sayısının en az 3 (e¸sit veya farklı ) asal
çarpanı oldu˘ gundan, bu sayı "iyi sayı" de˘ gildir. Dolayısıyla, ardı¸sık "iyi sayı"ların
sayısı 3’ten fazla olamaz. 3 tane ardı¸sık iyi sayıya bir örnek gösterelim : 33 = 3 · 11
34 = 2 · 17 35 = 5 · 7
4. Bir çember üzerinde sabit bir A noktası alalım. Çember üzerinde alınan bir
B noktası için, AB kiri¸sinin uzunlu˘ gunun yarıçap uzunlu˘ gundan büyük olma
olasılı˘ gı kaçtır?

Çözüm : ¸Sekilden görüldü˘ gü gibi, B noktası CAD yayı D
üzerinde "yürüdü˘ gü" zaman AB kiri¸sinin uzunlu˘ gu yarıçap
uzunlu˘ gundan küçük olur. Bu yayın uzunlu˘ gu çember uzun­ A 60º O
lu˘ gunun 13’tür. Bundan dolayı, AB kiri¸sinin uzunlu˘ gunun 60º
yarıçap uzunlu˘ gundan büyük olma olasılı˘ gı
1 − 13= 23’tür.
C
1 2
2
5. f : R → R fonksiyonu her x, y ∈ R için (f(y)) = [f(x + y ) − f(x)]
2