Page 205 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

204 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

e¸sitli˘ gini sa˘ glamaktadır. f(1) 6=0 oldu˘ guna göre, f(2002) sayısı kaçtır?
1 2
2
Çözüm : (()) = [(+  )− ()] e¸sitli˘ ginde,  =  =0 yazılırsa,  (0) = 0
2
2
olur.  =0 =1 yazılırsa,  (1) = 2 (1) ve  (1) 6=0 oldu˘ gundan,  (1) = 12
olur.
Buna göre e¸sitlikte  =1 yazılırsa,
1 1
= ( ( +1) −  ())
4 2
e¸sitli˘ ginden  ( +1) −  ()= 12elde edilir. Buradan,
 (2) −  (1) = 12
 (3) −  (2) = 12
. . .

 (2002) −  (2001) = 12
e¸sitliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla,  (2002) = 1001 elde edilir.

6. 4 2002 +6 2002 sayısının 25 ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
Çözüm : I. Yol :  Euler fonksiyonu olmak üzere,  (25) = 20’dir. O halde, Euler
teoremine göre,
4 20 =4 (25) ≡ 1 (mod 25)
6 20 =6 (25) ≡ 1 (mod 25)
ve buradan da,
2
4 2002 =4 · 4 2000 =16 · 4 20100 ≡ 16 (mod 25)
2
6 2002 =6 · 6 20100 =36 · 4 20100 ≡ 11 (mod 25)
olur. Böylece, 4 2002 +6 2002 ≡ 16 + 11 (mod 25) ≡ 2 (mod 25) elde edilir.
II. Yol : 4 2002 +6 2002 =(5 − 1) 2002 +(5 + 1) 2002 e¸sitli˘ ginde Binom formülü
kullanılırsa,
¡ ¡ 2002 ¢ ¢ ¡ ¡ 2002 ¢ ¢
4 2002 +6 2002 = 25 ·  − · 5 · 1+1 + 25 ·  + · 5 · 1+1
2001 2001
=25 ( + )+ 2
olur. O halde 4 2002 +6 2002 sayısının 25 ile bölümünden kalan 2’dir.
7. 50 yapraklı bir kitabın sayfaları 1, 2, 3,..., 99, 100 sayıları ile numara­
landırılmı¸stır. Bu kitaptan bir kaç yaprak koparılıp atıldıktan sonra, geriye
kalan sayfaların numaralar toplamı 4946 olmu¸stur. Bu durumda, en fazla kaç
yaprak koparılmı¸stır?
Çözüm : 1+2+···+99+100 = 5050 oldu˘ gundan, koparılmı¸s sayfaların numaralar
toplamı 5050 − 4946 = 104’tür.