Page 206 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2002 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 205

 numaralı yapra˘ gın sayfa numaralarının toplamı (2 − 1)+2 =4−1’dir. Bundan
dolayı,  tane yaprak koparılmı¸ssa, onların sayfa numaraları toplamı,
(4 1 − 1) + (4 2 − 1) + ··· +(4  − 1) = 4 ( 1 +  2 + ··· +   ) − 
¸ seklinde olur. 4( 1 +  2 + ··· +   )− = 104 e¸sitli˘ ginden, ’nın 4 ile bölündü˘ günü
söyleyebiliriz. Yani,  =4 8  olabilir. Fakat,  ≥ 8 olamaz, çünkü
4 (1 + 2+3+4+5+6+7+8) − 8 = 136  104
tür.  =4 durumuna bir örnek verelim : 1., 2., 3. ve 21. yapraklar koparılmı¸ssa,
sayfa numaraları toplamı : (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (41 + 42) = 104 olur.
8. [AB] do˘ gru parçası çap olmak üzere, bir yarım çember çizilmi¸s ve bu yarım
çember üzerinde C ve D noktaları |AC| = |CD| =2 olacak biçimde alınmı¸stır.
|AB| =5 oldu˘ guna göre, BD kiri¸sinin uzunlu˘ gu kaçtır?
Çözüm : ADB = 90 oldu˘ gundan, Pisagor
◦
b
Teoreminden . D
2 2 2 2 C
|BD| = |AB| − |AD| =25 − |AD|
olur. |AD| uzunlu˘ gunu bulalım. Çemberin E .
merkezine O ve [CO] ile [AD]’nin kesi¸sim
noktasına E diyelim. |AC| = |CD| oldu˘ gun­ A . B
 O
dan, CO⊥AD’dir. CDE ve CBA aynı AC yayını gören açılar olarak e¸sitler. Buna göre
b
b
de DCE ve CAB dik üçgenleri benzer üçgenlerdir. Buradan,
√ √
2
|DE| |BC| |BC| 5 − 2 2 2 21
= ⇒ |DE| = |DC|· =2 · =
|DC| |BA| |BA| 5 5
4 √
⇒ |AD| =2 |DE| = 21
5
q
2 17
olur. Böylece, |BD| = 25 − |AD| = =3 4 bulunur.
5
»¹ ¯ ¯ º¼
¯ 6x +5 ¯ 15x − 7
9. ¯ ¯ = denkleminin gerçel sayılarda çözüm kümesi kaç ele­
8 5
¯ ¯
manlıdır? (Burada, [] tamde˘ ger fonksiyonudur.)
15 − 7 5 +7
Çözüm : =  ( ∈ Z) olsun. Buradan,  = bulunur ve denklemde
15
5 »¹ ¯ ¯ º¼
¯ 10 +39 ¯
yerine yazılırsa, ¯ ¯ =  olur. Tamde˘ ger fonksiyonunun tanımından,
40
¯ ¯
10 +39 1
0 ≤ −  1 ⇒−  ≤ 1 3 ⇒  =0 veya  =1
40 30
bulunur. Böylece,
7 4
 =0 için,  1 = ve  =1 için  2 =
15 5
elde edilir.