Page 207 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

206 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

10. Kaç tane p asal sayısı için p +11 sayısının tam 6 tane farklı pozitif böleni
2
vardır?
2
Çözüm :  =2 için  +11 = 15 sayısının 4 pozitif böleni vardır.  =3 için
2
 +11 = 20 sayısının 6 pozitif böleni vardır. Her  ≥ 5 asal sayısı 6 ± 1 biçiminde
2
gösterilebilece˘ ginden,  +11 sayısı 12’ye bölünecektir ve 12’nin tam 6 tane pozitif
böleni oldu˘ gundan,  +11 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 6’dan fazla olacaktır.
2
11. Yarıçapı 5 birim olan bir çember, yarıçapı 9 birim olan bir ba¸ska çembere
A noktasında içten te˘ gettir. Büyük çember üzerinde, |AB|=12 birim olacak ¸se­
kilde seçilen bir B noktasından küçük çembere çizilen te˘ get parçasının uzunlu˘ gu
nedir?
Çözüm : [AB]’nin küçük çemberle kesi¸sim noktası D ol­
sun. Küçük çemberin merkezine O 1 ve büyü˘ günkine de O 2
denilirse, AO 1 DveAO 2 B üçgenlerinin benzerli˘ ginden B
|AD| 5 5 5 20 C
= ⇒ |AD| = |AB| = · 12 =
|AB| 9 9 9 3 . O 2 D
olur. Buradan, O 1
.
20 16
|BD| = |AB| − |AD| =12 − =
3 3 A
bulunur. Böylece, kuvvet kuralından,
r
p 16
|BC| = |BD|·|BA| = 12 · =8
3
elde edilir.

12. 0, 1, 2,. .., 9999 sayıları içinde 7 ve 8 rakamlarının ikisinin de kullanıldı˘ gı
kaç tane sayı vardır?
Çözüm :  = {yazılımında 7 kullanılan sayılar} ve  = { yazılımında 8 kullanılan
sayılar} kümelerini tanımlayalım. Biz  ( ∩ ) sayısını bulmak istiyoruz.
 ( ∩ )=  ()+  () −  ( ∪ )
formülünden yararlanaca˘ gız. Sayıların hepsini, gerekti˘ ginde önüne sıfırlar koymakla,
dört basamaklı dü¸sünelim. Örne˘ gin, 0 = 0000 1 = 0001 219 = 0219 vs. O halde,
4
 ()=  ()= 10 − 9 4
oldu˘ gu kolayca görülebilir. Di˘ ger taraftan,  ,  kümesinin tümeleyenini göstermek
0
üzere,
¡
4
4
 ( ∪ )= 10 −  ( ∪ ) 0 ¢ =10 − 8 4
olur. Son iki e¸sitlik yerlerine yazılırsa,
¡ 4 4 ¢ ¡ 4 4 ¢
 ( ∩ )= 2 10 − 9 − 10 − 8 = 974
bulunur.