Page 208 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2002 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 207

2
xy z
13. x> 0, y> 0, z> 0 olmak üzere, ifadesinin alabilece˘ gi en
4
4
x +y +z 4
büyük de˘ ger nedir?
Çözüm : Aritmetik ­ geometrik ortalamalar e¸sitsizli˘ ginden,
1 4 1 4 4
4
4
4
4
 +  +  =  +  +  + 
2 2
r
1
4 8 4
≥ 4 4   
4
4
2
= √  
2
olur. Buradan,
√
2
  2 1
≤ = √
4
4
 +  +  4 4 2 2
1
4
4
4
elde edilir. E¸sitlik durumu,  =  =  halinde elde edilir.
2
14. ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde bir M noktası ve [BC] kenarı üzerinde
bir N noktası alınmı¸stır. [AN] ve [BM] do˘ gru parçalarının kesi¸sim noktası O
olsun. Alan(OMA) =1 Alan(OBN) =2 ve Alan(OAB) =3 oldu˘ guna
göre, Alan(MNC) nedir?
∆
Çözüm : ¸Sekilde, (ONM)=  ve
∆ A
(MNC)=  olsun. 3 =1 · 2 e¸sitli˘ ginden
2
 = bulunur. Buna göre,
3
∆ 3 1
|MA| (ABM) 3+1 4 O M
= = = x
|MC| ∆ 2+  +  2
(MBC) 2+ +  y
3 2
ve B C
N
2
∆ +1
|MA| (ANM)  +1 3
= = =
|MC| ∆  
(MNC)
e¸sitliklerinden elde edilen
2
4 3 +1
=
2 
2+ + 
3
40
denkleminin çözümünden  = bulunur.
21