Page 209 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

208 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

15. Yarıçapı 2 birim olan bir çember, bir karenin iki kom¸su kenarına içten
te˘ get olup, karenin sadece bir kö¸sesinden geçmektedir. Buna göre, karenin kenar
uzunlu˘ gu kaç birimdir?

Çözüm : Kareyi, ¸sekildeki gibi, dik koordinat sis­ y
teminde yerle¸stirelim. Çemberin merkezine M ve a A C
çemberin karenin kenarları ile kesi¸sti˘ gi noktalara
da A ve B denilirse, M’nin [AB] üzerinde oldu˘ gu
açıktır. Karenin kenar uzunlu˘ gu  olsun. O halde, 2 M
C’nin koordinatları ( ) ve M’nin koordinatları
(2 2) oldu˘ gundan,
q B
2 2 √
2= |CM| = ( − 2) +( − 2) = 2( − 2) a
2 x
2 √
olur. Buradan,  =2 + √ =2 + 2 bulunur.
2
16. 1, 2,... , 999, 1000 sayıları verilsin. Bu sayılardan azalan aritmetik dizi
olu¸sturacak ¸sekilde kaç tane sayı üçlüsü seçilebilir? (Örne˘ gin, 3, 2, 1 ve 9, 6, 3
birer azalan aritmetik dizidir.)
Çözüm : Azalan aritmetik dizi sayısı, artan artimetik dizi sayısına e¸sit oldu˘ gundan,
artan aritmetik dizi sayısını bulalım.  dizinin ilk terimi ve  de dizi farkı olursa,
 ≥ 1 ≥ 1 ve  +2 ≤ 1000 sa˘ glanmalıdır. Buradan,  ≤ 1000 − 2
( =1 2  499) olur. Böylece, artan aritmetik dizi olu¸sturan üçlüler sayısı
499
X
(1000 − 2) = 499 · 1000 − 2 · (1 + 2 + ·· · +499)
=1
1 + 499
= 499 · 1000 − 2 · · 499
2
= 499 · 1000 − 499 · 500 = 249500
olarak bulunur.

17. a, b, c gerçel sayıları |a| ≤ 3, |b| ≤ 2, |c| ≤ 1 ko¸sullarını sa˘ glamak üzere,
2
3
tüm x +ax +bx + c =0 denklemlerini dü¸sünelim. Bu denklemlerden en
az birini sa˘ glayan pozitif gerçel sayıların en büyü˘ güne  0 diyelim.  0 sayısı için
a¸sa˘ gıdakilerden hangisi do˘ grudur?
A) 2  0  3 B) 1  0  2 C) 0  0  1
D) 3  0  4 E) 4  0  5
Çözüm : Reel katsayılı 3. dereceden her bir polinomun en az bir reel kökü vardır.
 ()=  −3 −2−1 polinomunun en büyük pozitif kökü, problemdeki ko¸sulları
3
2
sa˘ glayan di˘ ger polinomların reel köklerinin hepsinden büyüktür. Bunu kanıtlayalım.