Page 210 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2002 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 209

 ()’in en büyük köküne  0 diyelim. Her  ≥ 4 için  ()  0 oldu˘ gundan  0  4
olmalıdır. Di˘ ger taraftan,  (3)  0 ve  (4)  0 oldu˘ gundan, sürekli fonksiyonlar
için arade˘ ger teoreminden,  ()=0 denkleminin (3 4) aralı˘ gında en az bir kökü
vardır. Böylece,  0 ∈ (3 4) oldu˘ gunu söyleyebiliriz.  0  3 oldu˘ gundan her   0
için  ()  ( 0 )’dır. Gerçekten,
¡ ¢ ¡ ¢
3
2
 () − ( 0 )=  −  3 − 3  −  2 − 2( −  0 )
0 0
¡ ¢
2
2
2
2
= ( −  0 )  +  0 +  − 3( +  0 ) − 2  +  0 +  − 3( +  0 ) − 2
0 0
¡ ¢ ¡ ¢
2
2
= ( +  0 ) − 3( +  0 )+  − 2 = ( − 3) ( +  0 )+  − 2  0
0
0
Böylece, her  0 ve || ≤ 3, || ≤ 2, || ≤ 1 için,
3
2
3
2
0=  ( 0 )  ()=  − 3 − 2 − 1 ≤  +  +  + 
3
2
olur ki, bu da  +  +  +  polinomlarının hiç birinin  0 ’dan büyük kökü
olmadı˘ gını gösteriyor.
18. Bir ABCD dikdörtgeninde [AB] kenarı üzerinde bir P noktası ve [BC] ke­
narı üzerinde bir N noktası, APD, PBN ve NCD üçgenlerinin alanları e¸sit olacak
biçimde alınmı¸stır. Buna göre, |AP | oranı nedir?
|PB|
Çözüm : |AP| =  |PB| =  |BN| =  ve
|NC| =  olsun. Alanların e¸sitli˘ ginden, A c+ d D
1 1 1
 ( + )=  ( + )=  a
2 2 2
˙
olur. Ilk e¸sitlikten, P
a+ b
  b
 =  ⇒ = ;
 
ve son iki ifadenin e¸sitli˘ ginden
B c d C
 +   N
=
 
çıkar. Elde edilen bu son iki e¸sitlikten,
 +    
= veya +1 =
   

elde edilir. =  denilirse,

1
2
 +1 = ⇒  +  − 1=0

√
5 − 1
denklemi çıkar. Bu denklemin çözümünden,  = bulunur.
2