Page 211 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

210 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

19. 1’den 99’a kadar (1 ve 99 dahil) tüm tek sayıları alalım. Bu sayıların hep­
sinin toplamına A 1 ,tüm iki¸serli çarpımlar toplamına A 2 , tüm üçerli çarpımlar
toplamına A 3 ,... , tüm 49­arlı çarpımlar toplamına A 49 ve hepsinin çarpımına
A 50 diyelim. (Örne˘ gin, a, b, c, d sayıları için iki¸serli çarpımlar toplamı
ab + ac + ad + bc + bd + cd’dir.)
Buna göre, A 50 −A 49 +A 48 −A 47 + ··· + A 2 −A 1 toplamı neye e¸sittir?
Çözüm : ( +1) ( +3) ·· · ( + 97) ( + 99) ifadesinde parantezler açılarak sade­
le¸stirme yapılırsa,
50 49 48 1
( +1) ( +3)·· ·( + 97) ( + 99) =  + 1  + 2  + ·· · + 49  + 50
elde edilir.  = −1 yazılırsa,
 50 −  49 +  48 − ··· +  2 −  1 +1 = 0
oldu˘ gundan,  50 −  49 +  48 − ··· +  2 −  1 = −1 bulunur.

¾
4
6
5
3
2
x +4x +3x −6x −20x −15x +5 = 0
20. denklemler sisteminin gerçel
2
3
4
5
x +2x −x −5x −10x +5 = 0
3
çözümü x 0 ise, 3x +7 tamsayısının rakamlar toplamı kaçtır?
0
Çözüm : I. Yol :  0 sisteminin bir çözümü olsun:
4
3
6
5
2
 +4 +3 − 6 − 20 − 15 0 +5 = 0 (1)
0 0 0 0 0
3
2
4
5
 +2 −  − 5 − 10 0 +5 = 0 (2)
0
0
0
0
E¸sitlikler taraf tarafa çıkartılırsa,
4
2
3
4
 +3 + −5 −15 −5 0 =0 ⇒  +3 + −5 −15 0 −5= 0 (3)
5
2
3
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
elde edilir. (3) e¸sitli˘ gi, (2) ile taraf tarafa toplanırsa,
4
4
5
3
2
2 +5 − 10 − 25 0 =0 ⇒ 2 +5 − 10 0 − 25 = 0 (4)
0
0
0
0
0
olur. (3)’den (2) çıkarılırsa,
4
3
 +2 − 5 0 − 10 = 0 (5)
0 0
elde edilir. (5)’in her iki tarafı 2 ile çarpılıp, (4)’ten çıkarılırsa,
√
3
3
 − 5=0 ⇒  0 = 3 5 ⇒ 3 +7 = 22
0 0
elde edilir.
II. Yol :  0 denklemler sisteminin bir çözümü olsun. Denklemler sistemindeki e¸sit­
liklerin taraf tarafa çıkarılmasıyla,
3
4
2
6
5
 +3 +  − 5 − 15 − 5 0 =0
0
0
0
0
0
elde edilir. Buradan,
¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢
4
5
2
3
2
3
 +3 +  − 5  +3 0 +1 =0 ⇒  − 5  +3 0 +1 =0
0 0 0 0 0 0
√
2
3
olur.  +3 0 +1 6=0 oldu˘ gundan,  0 = 3 5 ⇒ 3 +7 = 22 bulunur.
0
0