Page 231 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

230 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

13. n(n +1)(n +2) ··· (5n − 1)5n sayısının 5 86 ya bölünmesini sa˘ glayan
en küçük pozitif n tamsayısının rakamları toplamı kaçtır?
(5)! (5)!
Çözüm :   =  · ( +1) · ( +2) ·· · (5 − 1) · 5 = · ’dir. sayısında
! !
5’in en büyük kuvveti
¡§ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ ¢ ¡§ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ § ¥ ¯ ¯ ¦¨ ¢
¥
¥
5 1 + 5 2 + 5 3 + ··· − 5 1 + 5 2 + 5 3 + ··· = 
¯ 5 ¯ ¯ 5 ¯ ¯ 5 ¯ ¯  ¯ ¯  ¯ ¯  ¯
(5)!
olarak bulunur. Buradan,   = ·  oldu˘ gundan ve 85 sayısının bir 5 çarpanı
!
daha bulundu˘ gundan dolayı,   sayısının 5 86 sayısına bölünmesini sa˘ glayan en küçük
pozitif tamsayı  =85 olur. Buradan, cevap: 8+5=13 olarak bulunur.
14. ¸ Sekildeki ABCD dörtgeninin [AD]  D C
[DC] ve [CB] kenarları, merkezi [AB]
parçasının orta noktasında olan çembere te˘ get­
tir. |AB| =12  |AD| =5  oldu˘ guna
göre |BC| kaç birimdir? A . O B

Çözüm :  =  =  C
b
b
 =  =  ve D z
b
b
 =  =  diyelim. y y z
b
b
◦
 +2 +2 +  = 360
◦
⇒  +  +  =180
A . x . x . B
olur. O halde,  =  ve  =  ol­ O
b
b
malıdır. Dolayısıyla,  ve  üçgenleri benzer üçgenlerdir. Buradan da,
|| ||
=
|| ||
e¸sitli˘ ginden
||  || 66
|| = = =7 2
|| 5
bulunur.
¡√ ¢ 2 2
15. (x +6) x +1−1 ≥ x e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan x sayılarının bulundu˘ gu
en geni¸saralı˘ gın uzunlu˘ gu nedir?
¡√ ¢ 2
Çözüm : ( +6)  +1 − 1 ≥  2 e¸sitsizli˘ gine göre  ≥−1 olması gerekti˘ gi
açıktır. 1+  =  diyelim.  =  − 1 olur. O halde e¸sitsizlik  cinsinden,
√ 2 2 √ 2 √ 2
( +5) (  − 1) ≥ ( − 1) =(  − 1) (  +1)
olur.  =1 bir çözümdür.