Page 235 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2006 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. n pozitif tamsayısının kaç farklı de˘ geri için, (n − 210) ve (n +210) sayıla­
rının ikisi de bir tam karedir?
2
Çözüm :  =  − 210 ve  =  + 210 dersek,
2
2
2
 −  = 420 ⇒ ( − )( + )= 2 · 2 · 3 · 5 · 7
olur. ( − ) ve ( + ) sayılarının "tekli˘ gi­çiftli˘ gi" aynı oldu˘ gundan yalnızca, a¸sa˘ gı­
daki 4 durum sa˘ glanabilir.
 −   + 
2 2 · 3 · 5 · 7
2 · 3 2 · 5 · 7
2 · 5 2 · 3 · 7
2 · 7 2 · 3 · 5

2. 2 ≤ |x|+|3y| ≤ 9 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan kaç tane (x, y) tamsayı ikilisi vardır?
Çözüm : 0 ≤ || ≤ 3 olabilir.
 =0 olursa, 2 ≤ || ≤ 9 e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan 2 · 8=16 tane  var. Dolayısıyla,
( 0) ’ların sayısı 16’dır.
|| =1 ⇔  = ±1 olursa, 2 ≤ || +3 ≤ 9 e¸sitsizli˘ gi 0 ≤ || ≤ 6 e¸sitsizli˘ gine denk
olur ki, bunu sa˘ glayan ’lerin sayısı 13’tür. Buna göre, ( 1) ve ( −1)’lerin toplam
sayısı 2 · 13 = 26 olur.
|| =2 ⇔  = ±2 olursa, 0 ≤ || ≤ 3 olur ve bu e¸sitsizli˘ gi sa˘ glayan ’lerin sayısı
da 7’dir. O halde, ( 2) ve ( −2)’lerin toplam sayısı 2 · 7=14 olur.
Son olarak, || =3 ⇔  = ±3 olursa,  =0 olur ve iki tane; (0 3) ve (0 −3)
çözümleri elde edilir.
Böylece, ( )’lerin toplam sayısı 16 + 26 + 14 + 2 = 58 olarak bulunur.

◦
3. Bir ABC üçgeninde m(ABC)= 30  m(CAB)=45 olup, D noktası
◦
b
b
BC kenarının orta noktasıdır. Buna göre, ADC açısı kaç derecedir?
b
Çözüm :  ⊥  çizelim. C
 =45 ve  =60 olur.
◦
◦
b
b
 dik üçgeninden, 45° 60°
|| = || oldu˘ guna göre, D
1
|| = || = || olur.
2
Böylece, || = || bulunur. O A 45° 30° 30° B
halde, ¸sekilden, H
 = 180 − = 180 −(+) = 180 −(15 + 120 )= 45 ◦
◦
◦
◦
◦
◦
b
b
b
b
elde edilir.