Page 233 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 233
232 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
≡ 0(mod3) ise, son rakam 0,3,9 olabilir.
≡ 1(mod3) ise, son rakam 2,5,8 olabilir.
≡ 2(mod3) ise, son rakam 1,4,7 olabilir.
Yani, her durum için de son basamak yerine yazabilece˘ gimiz rakam sayısı 3’tür.
8 9 9 9 9 3
O halde, yukarıdaki kutucuklardan anla¸sılaca˘ gı üzere, 6 rakamını içermeyen ve 3 ile
4
bölünen sayıların sayısı 8·9 ·3 olur. Sonuç olarak, 6 rakamını içeren ve 3 ile bölünen
4
sayıların sayısı = 300000 − 8 · 9 · 3 olacaktır. Böylece,
4
= 300000 − 8 · 9 · 3 ≡ 6 (mod 10)
bulunur.
2
18. x, y ∈ R olmak üzere, (x − 2)(y + 2)= (x + y) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan (x, y)
ikililerinin sayısı kaçtır?
Çözüm : ( − 2)( +2) = ( + ) denklemini, ’ e göre ikinci dereceden denklem
2
olacak ¸sekilde düzenleyelim.
2
2
+2 + − − 2 +2 +4 = 0
¡ ¢
2
2
+( − 2) + +2 +4 =0
olur. Bu denklemin reel çözümünün olması için, diskiriminant negatif olmamalıdır.
2 ¡ 2 ¢
∆ =( − 2) − 4 +2 +4 ≥ 0
2
e¸sitsizli˘ ginin düzenlenmesiyle, ( +2) ≤ 0 ve buradan = −2 elde edilir. Bu,
denklemde yerine yazılırsa, =2 bulunur. O halde denklemin tek çözümü, (2 −2)
olarak bulunur.
19. X = {1, 2, 3, 4} kümesi verilsin. f : X → X fonksiyonları içinde,
a, b, c ∈ X olmak üzere,
f(a)= f(b)= f(c)
ko¸sulunu sa˘ glamayan kaç tane fonksiyon vardır?
Çözüm : Söz konusu fonksiyonların sayısını bulmak için tüm : → fonksiyon
ları sayısından (yani 4 ’ten), ()= ()= () e¸sitli˘ gini sa˘ glayan fonksiyonların
4
sayısını çıkaraca˘ gız. Uygun için ()= ()= () e¸sitli˘ gini sa˘ glayan
fonksiyonlar 2 tiptir.
1) Sabit fonksiyon : (1) = (2) = (3) = (4) = e (e ∈ ) Bu ¸sekildeki
fonksiyonların sayısı 4’tür.
2) ’in herhangi üç elemanını bir e ∈ elemanına, geriye kalan bir elemanı da
’in e’dan farklı üç elemanından herhangi birine götüren fonksiyonlar. Bu ¸sekildeki
4
4
fonksiyonları sayısı ise, ¡ ¢ ¡ ¢ · 3=4 · 4 · 3=48’dir.
3 · 1
O halde, istenen fonksiyonların toplam sayısı 4 − (48 + 4) = 204 olarak bulunur.
4
