Page 227 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2005 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. 30 ki¸silik bir satranç turnuvasında, ¸sampiyon, "3 kez yenilen elenir" kuralıyla
belirlenecektir. Buna göre en az kaç maç yapılmalıdır?
Çözüm : En az maç yapılması için, ¸sampiyon olacak ki¸si hiç yenilmemelidir. ¸Sam­
piyon olacak ki¸si A, ikinci B ve üçüncü de C olsun. A herkesi; B, A dı¸sında herkesi
ve Cde, Aile Bdı¸sında herkesi yensin. Bu durumda 29+28+27=84 maç yapılmı¸s
olur ve böylece A, B, C dı¸sındaki tüm yarı¸smacılar elenir. C iki kez ve B de bir kez
yenildi˘ ginden, her ikisinin de elenmesi için 3 maç yeterlidir. Dolayısıyla 84+3=87
maç yapılmalıdır.

2. x 1 <x 2 <x 3 <x 4 <x 5 pozitif tamsayılarının iki¸ser­iki¸ser toplanmasıyla
elde edilen sayı kümesinin {18, 26, 29, 34, 36, 37, 44, 45, 52, 55} oldu˘ gu bilin­
di˘ gine göre, x 2 sayısının rakamlar toplamı kaçtır?
Çözüm : Sayıların iki¸ser iki¸ser toplanmasıyla elde edilen tüm e¸sitlikler taraf tarafa
toplanırsa,
4( 1 +  2 +  3 +  4 +  5 ) = 18+26+29+34+36+37+44+45+52+55 = 376
olur. Buradan  1 +  2 +  3 +  4 +  5 =94 bulunur. Di˘ ger taraftan,  1 +  2 =18 ve
 4 +  5 =55 oldu˘ gundan,  3 =94 − 18 − 55 = 21 olur.  1 +  3 =26 e¸sitli˘ ginden
 1 =5 ve  1 +  2 =18 e¸sitli˘ ginden  2 =13 bulunur. O halde,  2 sayısının
rakamları toplamı 1+3=4 olur.

m(n +3) − 1
3. kesiri sadele¸secek ¸sekilde kaç tane (m, n) pozitif tam­
m(n +3)+ n +2
sayı çifti vardır?
Çözüm : Verilen kesirde, (( +3) − 1) ve (( +3) +  +2) sayılarının
her ikisi de bir  ≥ 1 sayısına bölünüyorsa, bu sayıların farkı olan  +3 sayısı da
’ye bölünmelidir. Oysa, (( +3) − 1) sayısı ile ( +3) sayısı aralarında asaldır.
Dolayısıyla,  =1 olmalıdır.

4. OKEK(x, y)+ OBEB(x, y)= x + y +4 denklemini sa˘ glayan kaç tane
(x, y) pozitif tamsayı çifti vardır?
Çözüm :  ( )=  olsun. Bu durumda, ( )=1 olmak üzere,
 =  ve  =  yazılabilir.  ( )=  oldu˘ gu da gözönüne alınırsa,
( )+( )= ++4 denklemi
 +  =  +  +4
olur. Buradan,  ( − 1) ( − 1) = 4 elde edilir.
 =1 2 4 durumlarını ayrı ayrı inceleyelim;