Page 229 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

228 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

8. 5 ≤ n ≤ 2005 aralı˘ gındaki kaç tane n tamsayısı için
     
         
 2    
n−  =   −  
  
2  3  6
e¸sitli˘ gi sa˘ glanmaz? (Burada, db|x|ce ile x sayısının tam kısmı gösterilmektedir.)
»¹ ¯ ¯ º¼
l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km
¯ 2 ¯
¯  ¯
¯  ¯
Çözüm :  − ¯ ¯ = ¯ ¯ − ¯ ¯ denkleminde  =6+ (0 ≤  ≤ 5) yazılırsa,
2 ¯ 3 ¯ 6
problemdeki e¸sitlik,
»¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼
m
l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ km l j ¯ ¯ k
¯ 2 ¯ ¯  ¯ ¯  ¯ ¯ 2 ¯
¯  ¯
6 +  − 3 − ¯ ¯ =4 + ¯ ¯ −  − ¯ ¯ ⇔  − ¯ ¯ = ¯ ¯
2 ¯ 3 ¯ 6 2 ¯ 3 ¯
¸ sekline dönü¸sür.  =0 1 2 3 4 5 için kontrol edilirse, yalnız  =1 halinde e¸sit­
lik sa˘ glanmaz. Demek ki, problemdeki e¸sitlik  =6 +1 ¸seklindeki sayılar için
sa˘ glanmaz. 5 ≤  ≤ 2005 aralı˘ gındaki 6 +1 ¸seklinde olan sayıların sayısını
bulalım.  1 =7 =6 olmak üzere, aritmetik dizinin  terimi formülünden,
  =  1 +( − 1)  =7 + 6 ( − 1) = 6 +1 olur. 2005 = 6 +1 e¸sitli˘ ginden
 = 334 olarak bulunur.
9. 5 aynı kalem, 7 aynı defter ve 9 aynı silgi iki çocuk arasında kaç farklı ¸sekilde
payla¸stırılabilir? Not: Çocuklardan bazılarının hiçbir ¸sey almadı˘ gı durumlar da
sayılacaktır.
Çözüm : 5 kalem 6 farklı ¸sekilde da˘ gıtılabilir: Çocuklardan biri 0,1,2,3,4,5 sayıda
kalem alabilir. Benzer olarak, defter 8 ve silgi 10 farklı ¸sekilde payla¸stırılabilir. O
halde, çarpım kuralına göre, tüm farklı payla¸stırmaların sayısı 6·8·10=480 olarak
bulunur.

10. ABCD dikdörtgeni [EF ] do˘ gru parçası A . 2 E D
boyunca ¸sekildeki gibi katlanmı¸stır. . A'
2
|AB| = |AE| =2  ve |BF | =1 
0
oldu˘ guna göre |B G| kaç birimdir? B . 1 F . G C
B'
Çözüm : [], [] ve [  ] do˘ gru A . 2 E D
0
0
parçalarını uzatarak, kesi¸sme noktasına  diye­ . A'
lim. 2

| | =  olsun. Bu durumda, . F G
0
B 1 C
p 1 . x
2
|| =  +1 B'
olur.  ve  üçgenlerinin benzerli˘ gin­
den, || =2 = | | bulunur.
0
O