Page 230 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2005 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 229

¸ Simdi de,  üçgeninde, || açıortay oldu˘ gundan, açıortay teoreminden,

|| || 1 2
= ⇒ √ =
2
|| ||  +1 2+ 
¡
¢
2
2
denklemi elde edilir. Buradan, 4  +1 =4 + 4 +  denkleminin çözümünden
 =43 olarak bulunur.
11. 2’lik sayı tabanına göre yazılı¸sında dört tane 1 ve altı tane 0 olan tüm pozitif
sayıların toplamını bulunuz.
9!
Çözüm : Sayıların ilk rakamı 1 olaca˘ gından, tüm sayıların sayısı =84’tür. Her­
3!6!
8!
hangi  =1 2  9 için  basama˘ gında 1 olan sayıların sayısı =28 olacaktır.
2!6!
O halde, problemin ko¸sullarını sa˘ glayan sayıların toplamı (onluk sistemde)
9
8
1
7
 =84 · 2 +28 · 2 +28 · 2 + ··· +28 · 2 +28 · 2 0
9
2 − 1
9
9
=84 · 2 +28 = 112 · 2 − 28
2 − 1
¡ ¢
=28 · 2 11 − 28 = 28 2 11 − 1
olarak bulunur.
C
12. ¸Sekilde, |AB| =4  |BC| =3  |BD| =6  B 3
m(AD)= m(BD) ve m(AC)= m(BD) ise
b
b
b
b
|DC| kaç birimdir? 4 6
A D
Çözüm : [] ve []’yi uzatalım. Bunlar  nok­
tasında kesi¸ssinler.  ve  üçgenleri benzer üç­ E
genlerdir. Dolayısıyla,
|| || || 6 3 C
= = = =2 B
|| || || 3
e¸sitli˘ ginden
4 6
|| =2 || ve || =2 ||

bulunur. Di˘ ger taraftan, || = || =4 + || A D
oldu˘ gundan, 2 || =4 + || olur. Bu e¸sitliklerden
|| =4 || =8 ve || =2 bulunur. O halde,
|| = || − || =8 − 2=6
olur.