Page 226 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2004 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 225

x y
19. x, y ve n pozitif tamsayılar olmak üzere, 1 < < 2 ve 2 < < 3
y n
ko¸sullarını sa˘ glayan (x, y) ikililerinin sayısı 99 oldu˘ guna göre, n sayısı kaçtır?
Çözüm : Verilen e¸sitsizliklerden, 2  3 ve    2,olur. O halde 

 ∈ {2 +1 2 +2  3 − 1}
olacak ¸sekilde  − 1 de˘ ger alır. Buradan alınan her  de˘ geri için,
 ∈ { +1 +2  2 − 1}
olur ve  sayısı,  − 1 tane de˘ ger alır. Böylece,  =2 +1 için,  sayısı, 2 tane
farklı de˘ ger alır ve 2 tane ( ) ikilisi elde edilir. Benzer ¸sekilde,  =2 +2 için,
 2 +1 tane farklı de˘ ger alır ve 2 +1 tane ( ) ikilisi ortaya çıkar. Bu ¸sekilde
devam edecek olursak, ( ) ikililerinin sayısı :
(5 − 2) ( − 1)
2 +(2 +1) + ··· +(3 − 2) =
2
olur.
(5 − 2) ( − 1)
=99
2
e¸sitli˘ ginden  =7 bulunur.

3
20. Hacmi 27 br olan dikdörtgenler prizması ¸seklinde kapalı bir kutu yapılacak
ve her yüzü farklı boyalarla boyanacaktır. Boyaların birimkareye dü¸sen maliyet­
leri, sırasıyla, 1, 1, 2, 2, 3 ve 5 TL’dir. Toplam boyama maliyeti en dü¸sük olacak
¸ sekilde bir kutu yapıldı˘ gında, bu kutunun boyama maliyeti kaç TL olur?
Çözüm : Bu kutunun ayrıtları    olsun. En dü¸sük boyama maliyeti için, bu
kutunun kar¸sılıklı yüzlerinin, 3 ve 5, 2 ve 2, 1 ve 1 TL’lık boyalar ile boyanması
gerekir. Dolayısıyla soru,
(3 + 5) +(2+2) +(1+1) =8 +4 +2
ifadesinin,  =27 ¸sartı altındaki minimum de˘ gerinin bulunmasıyla çözülür. Bunun
için " ≥ ", ortalamalar e¸sitsizli˘ gi kullanılırsa,
q
√
3
8 +4 +2 ≥ 3 () 2 3 8 · 4 · 2=3 · 9 · 4 = 108
bulunur. Ayrıca,  =1 5  =3 ve  =6 de˘ gerleri için e¸sitlik durumu elde edilir.