Page 234 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2005 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 233

A
20. Bir ABC üçgeninde A açısının açıortayı [BC] ke­ . .
b
narını D noktasında kesiyor.
|AB| − |BD| =24 |AC| + |CD| =54
oldu˘ guna göre |AD| kaç birimdir?
B C
D

Çözüm : [] kenarı üzerinde || = || ola­
cak biçimde  noktasını ve ’nin uzantısı üzerinde de, A . .
|| = || olacak ¸sekilde de  noktasını alalım. 
ve  üçgenlerinin benzer oldu˘ gunu görelim. Bunun
için F
 =  oldu˘ gunu göstermek yeterlidir.
b
b
1 1
◦ ◦ ◦ ◦
=180 −  = 180 − (90 − )= 90 +  B D C
b
b
b
b
; 2 2
1 ◦ 1 1 ◦ 1
◦
=180 − ( +)=180 −  −  =90 +  G
b b
b
b
b
b
2 2 2 2
e¸sitliklerine göre,  =  oldu˘ gundan,
b
b
4 4
 ∼  olur. Böylece,
|| || 2
= ⇒ || = ||  || =24 · 54
|| ||
√
ve || = 24 · 54 = 36 bulunur.
2. Yol : || − || =24, || + || =54 ifadelerini taraf tarafa çarparsak,
|||| + |||| − |||| − |||| =54 · 24
olur. Açıortay teoreminden, |||| = |||| oldu˘ gundan,
|||| − |||| =54 · 24
olur. Di˘ ger taraftan,
2
|| = |||| − |||| =54 · 24
2
oldu˘ gundan, || =54 · 24 ve || =36 bulunur.