Page 228 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 228
2005 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 227
=1 için ( =5 =2) veya ( =2 =5) ;
=2 için ( =3 =2) veya ( =2 =3)
ve =4 için çözüm olmadı˘ gından, problemde verilen denklemin pozitif tamsayı
çözümleri (5 2) (2 5) (4 6) (6 4) olarak bulunur. O halde denklemin 4 tane
pozitif tamsayı çözümü vardır.
5. f : Z → Z fonksiyonu her n ∈ Z için f(f(n+1)−7)=n−1 ve f(f(n))=n
e¸sitliklerini sa˘ glıyor. f(0) = 1 ise, f(2005) kaçtır?
Çözüm : (( +1) − 7) = − 1 e¸sitli˘ gi, = ( ( +2) − 7) ¸seklinde yazılıp,
her iki taraftan ile (soldan) bile¸skesi alınırsa, ()= ( ( ( +2) − 7)) elde
edilir. Buradan, (()) = kullanılarak,
()= ( +2) − 7
bulunur. Böylece, ( +2) = ()+ 7 e¸sitli˘ gi kullanılarak (2005) hesaplanabilir.
Öncelikle, (()) = e¸sitli˘ ginde =0, (0) = 1 yazılırsa (1) = 0 bulunur.
Tümevarımla, her ∈ N için, (2)=7 +1 ve (2 +1) = 7 oldu˘ gu görülür.
Ohalde, (2005) = 7 · 1002 = 7014 olur.
6. m, n, k pozitif tamsayılar olmak üzere,
1 m 1 m m + k
≤ < ve =
7 n 3 n n · k
m
sa˘ glanacak ¸sekilde kaç tane kesiri vardır?
n
+ +
Çözüm : = ⇒ = ⇒ = − 1 ⇒ = olur.
− 1
tamsayı oldu˘ gundan, − 1= 1 ⇒ =2 olmalıdır. Demek ki,
1 2 1
≤
7 3
e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayan pozitif ’lerin sayısını bulmalıyız. Yukarıdaki e¸sitsizlikten
6 ≤ 14 elde edilir. Buradan, =7 8 9 10 11 12 13 14 bulunur.
7. Alper hergün çekmecesindeki ¸sekerlerin 2/3’ünün bir fazlasını yiyerek, ¸seker
leri üç günde bitiriyor. Alper’in yemi¸soldu˘ gu tüm ¸sekerlerin sayısının rakamları
toplamı kaçtır?
Çözüm : Alper, ¸sekerleri yemeye ba¸sladıktan 2 gün sonra kalan ¸seker sayısına
2
denilirse, +1 = e¸sitli˘ ginden =3 bulunur. O halde, bir gün önce kalan
3
2
¸ seker sayısına denilirse, +1 = − 3 e¸sitli˘ ginden =12 bulunur. Ba¸slangıçta
3
2
çekmecedeki bulunan ¸seker sayısına denilirse, +1 = −12 e¸sitli˘ ginden =39
3
olur. O halde do˘ gru yanıt 3+9 = 12 bulunur.
