Page 232 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2005 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 231

 6=1 için her tarafı ¡ √  − 1 ¢ 2 sayısı ile bölersek,
√ 2 √
 +5 ≥ (  +1) ⇔  +5 ≥  +2  +1
√
⇔ 2  ≤ 4
√
⇔  ≤ 2 ⇔  ≤ 4
elde edilir. Buradan,  +1 ≤ 4 ⇒  ≤ 3 elde ederiz. Böylece, çözüm aralı˘ gı,
−1 ≤  ≤ 3 olur. Yani, çözüm aralı˘ gının uzunlu˘ gu 4’tür.

16. 5’in kuvvetleri ve farklı kuvvetlerinin toplamlarından olu¸san sayılar artan
sırada yazılarak 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, 125,. ..
2
1
1
0
0
¸ seklinde sayı dizisi olu¸sturuluyor. (1=5 , 5= 5 , 6=5 +5 , 25 = 5 ,
0
2
1
0
2
2
1
26 = 5 +5 , 30 = 5 +5 , 31 = 5 +5 +5 , 125 = 5 v.s.) Buna göre,
3
bu sayı dizisinin 63 üncü terimi kaçtır?
2
3
Çözüm : Verilen sayı dizisinde 2 ’inci yerde 5  2 ’inci yerde 5 , 2 ’inci yerde 5 ,...,
1
1
3
2
6
2 ’inci yerde 5 sayısının oldu˘ gu gözlemlenebilir. Yani 64’üncü sayı 5 ’dır. O halde,
6
6
63’üncü sayı
6
5 − 1 15625 − 1
3
4
0
1
5
2
5 +5 +5 +5 +5 +5 = = = 3906
5 − 1 4
olacaktır.
Not : Bu dizinin terimlerinin sırasıyla (1)  (10)  (11)  (100)  (101) , (110) 
5
5
5
5
5
5
(111)  (1000)  oldu˘ gu açıktır. Dizinin terimlerinin numaralarının, aynı terimlerin
5
5
2 tabanında yazılmasıyla elde edilebilece˘ gi görülebilir:
Dizininin Terimi Terimin Numarası
(  ) → (  )
5 2
Gerçekten, (1) terimi, (1) =1’inci terim; (10) =5 terimi, (10) =2’inci terim;
5 2 5 2
(111) =31 terimi, (111) =7’inci terimdir, vb. Buna göre, 63 = (111111) 2
5
2
oldu˘ gundan, 63’üncü terim (111111) = 3906 olur.
5
17. 6 basamaklı pozitif sayılar içinde, 6 rakamını içeren ve 3 ile bölünen sayıların
sayısına n diyelim. n sayısının son rakamı kaçtır?
Çözüm :  sayısını bulmak için, 3’e bölünen 6 basamaklı sayıların sayısından (yani
300000’den), 3’e bölünen, fakat 6’yı içermeyen sayıların sayısını çıkaraca˘ gız. Sayının
ilkrakamı 0 ve 6olamayaca˘ gından, ilk rakam yerine yazılabilecek rakam sayısı 8’dir.
Kalan basamakların herbiri için 9 seçene˘ gimiz vardır. Fakat, 3 ile bölünme ko¸sulu­
muz oldu˘ gundan dolayı, son rakamın yerine yazılabilecek rakamlar, ilk be¸srakamın
toplamına göre de˘ gi¸secektir. Bunun için, ba¸stan ilk be¸s rakamın toplamına A diyelim.