Page 237 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

236 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

M R
√
7. ¸Sekilde, merkezi O noktasında ve yarıçapı 5
cm olan çemberin AB kiri¸sinin uzunlu˘ gu 4 cm’dir. A B
PMRS karesinin P kö¸sesi OA üzerinde, S kö¸sesi
 P S
OB üzerinde, M ve R kö¸seleri de AB yayı üz­ .
erindedir. PMRS karesinin alanı kaç cm ’dir? O
2

Çözüm :  ⊥  çizelim.  ve  ile kesi¸sim noktalarına sırasıyla,  ve 
diyelim. Karenin kenar uzunlu˘ gu 2 olsun.
Ohalde, || = || =  olur.  dik üçgenine
B Pisagor teoremi uygulanırsa,
2 2 2
|| = || − || =5 − 4=1 ⇒ || =1
A 1
C 1
olur. ¸Simdi,  ve  üçgenlerinin benzerli˘ ginden
|| ||  
= = ⇒ || =
|| || 2 2
A C
B 1 bulunur. O halde, || = || + || =  +2 olur.
2
Di˘ ger taraftan,  dik üçgenine Pisagor teoremi uygulanırsa,
³ ´ 2
2 2 2  2
|| = || − || ⇒ +2 =5 − 
2
2
2
2
e¸sitli˘ ginden, 25 =20 − 4 ve buradan da 4 =8029 bulunur. Yani, karenin
alanı 8029’dur.
8. 5 ’lerin sayısı 2 ’lerin sayısından fazla olması ko¸suluyla; 2, 3 ve 5 rakamlarıyla
olu¸sturulan 11 basamaklı sayılardan kaç tanesi 18 ile tam bölünür?
Çözüm : 2’lerin sayısına , 3’lerin sayısına  ve 5’lerin sayısına da  diyelim. Önce­
likle, olu¸sturulan 11 basamaklı sayının 9’a bölünmesi için 2,3 ve 5 sayılarından kaçar
tane olması gerekti˘ gini bulalım. Matematiksel olarak,
⎫
  ≥ 1 ⎬
 +  +  =11
2 +3 +5 ≡ 0(mod9) ⎭
ba˘ gıntılarını sa˘ glayan   ve  sayılarını bulmalıyız.  =11−− de˘ gerini sonuncu
denklemde yazarsak,
2 +3 (11 −  − )+ 5 ≡ 0(mod9)
denkli˘ ginden, 2 −  ≡ 3(mod9) olur. ¸Simdi bu denkli˘ gi çözelim.
i)  =1 ise,  ≡ 2(mod9) ⇒  =1 =2 ve  =8 bulunur.