Page 238 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2006 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 237

ii)  =2 ise, 2 ≡ 5(mod9) ⇒  ≡ 7(mod9) ⇒  =2 =7 ve  =2 bulunur.
iii)  =3 ise,  =3 olur ki, bu   ko¸suluyla çeli¸sir.
iv)  =4 ise, 2 ≡ 7(mod9) ⇒  ≡ 8(mod9) olur ki, bu da  +  +  =11
ko¸suluyla çeli¸sir.
v)  =5 ise,  ≡ 4(mod9) olur ki, bu da yine   ko¸suluyla çeli¸sir.
 5 olamayaca˘ gı da, yine   ko¸sulundan çıkar.
Di˘ ger taraftan, sayının 18’e bölünebilmesi için birler basama˘ gı çift, yani, burada
sadece 2 olmalıdır. Böylece, 18’ e bölünen 11 basamaklı sayıların sayısı, i) ve ii)’deki
buldu˘ gumuz de˘ gerlerden,
10! 10! 9 · 10 8 · 9 · 10
+ = + =9 · 45 = 405
2! · 8! 2! · 7! 2 2
olarak bulunur.

9. Bir kırtasiyede be¸s farklı uzunlukta cetvel türü bulunuyor. Herhangi iki cetvel
için, uzunlukları toplamı bu iki cetvelin uzunlukları toplamına e¸sit olan ba¸ska iki
cetvel daha bulunuyorsa, kırtasiyede en az kaç cetvel vardır?
Çözüm : Cetvellerin uzunlukları  olsun. ( ) ikilisini dengeleyen
bir ( ) daha olmalıdır. Dolayısıyla, uzunlukları  ve  olan cetvellerin her birinden
en az 2’¸ser tane olmalıdır. ( ) ikilisini dengeleyen bir ( ) ikilisi daha olmak
zorundadır. Demek ki, en az 4 tane  uzunlu˘ gunda cetvel olmalıdır. Benzer dü¸sünceyi,
 ve  için yürütürsek, en az 4 tane  ve 2 tane de  uzunlu˘ gunda cetvel olması
gerekti˘ gini görürüz.  uzunlu˘ gundaki cetvelden en az 1 tane bulunması gerekti˘ ginden,
toplam cetvel sayısı en az 4+2+1+2+4=13 olmalıdır. Örnek olarak,

{1 1 1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5}
alınabilir.

10. x> 0 olmak üzere,
a 88
7
x +7·
x
ifadesinin alabilece˘ gi en küçük de˘ ger nedir?
Çözüm : Aritmetik­geometrik ortalama e¸sitsizli˘ gi kullanılırsa,
r
 88  88  88  88  88  88
7 7 8 7 77
 +7 · =  + + + ··· + ≥ 8 ·  · ··· =8 ·  
     
| {z }
7 tane
 88 11
7
olur. E¸sitlik durumu,  = için, yani  =  için elde edilir.
