Page 239 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

238 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

11. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere,
20 : 18 : 16 : 14 : 12 : 10 : x : y = 1
denkleminde parantezler unutulmu¸stur. Parantezleri uygun biçimde yerle¸stir­
erek, x + y ’nin alabilece˘ gi en küçük de˘ geri bulunuz.
2
2
2
4
Çözüm : 20 = 2 · 5 18 = 2 · 3  16 = 2  14 = 2 · 7 12 = 2 · 3 ve 10 = 2 · 5
e¸sitliklerinden 7 3 ve 2’lerin toplam sayılarının sırasıyla, 1,3 ve 11, yani tek sayılar
oldu˘ gu görülür. Demek ki, parantezler nasıl konulursa konulsun (yani sadele¸stirmeler
nasıl yapılırsa yapılsın), en az bir 2, bir 3 ve bir 7 kalacaktır. O halde denklemi
sa˘ glayan  ve  sayıları için,  + ’nin en küçük olması istenirse,  =7 ve
 =2 · 3=6 (yada  =6 =7 ) alınmalıdır. Örnek olarak,
20 · 12 · 14 · 6
1=
18 · 10 · 16 · 7
= 20:18 :(16 :14 : 12) :10:(7 :6)
alınabilir. (Parantezler bulunmayan yerde bölme i¸slemi sıra ile yapılır).

5
12. x + y = a −3a ve x · y =144a denklem sisteminin pozitif reel sayılarda
4
2
çözümünün varlı˘ gı için a sayısı en az kaç olmalıdır?
Çözüm :  ve  pozitif tamsayıları verilen denklemler sistemini sa˘ glasın. Aritmetik­
geometrik ortalama e¸sitsizli˘ ginden
√ 5 2 2
 +  ≥ 2  ·  ⇒  − 3 ≥ 2 · 12
3
⇒  ≥ 27 ⇒  ≥ 3
bulunur. ( =3 için  =  = 108 bir çözümdür.)

13. Bir açı içine üç kare ¸sekildeki gibi
yerle¸stirilmi¸stir. Küçük karenin kenar
uzunlu˘ gu a ve büyük karenin kenar
uzunlu˘ gu b ise, ortadaki karenin kenar
uzunlu˘ gu nedir?

Çözüm : Açının de˘ geri  olsun.
¸ Sekildeki dik üçgenlerin hepsinin
bir açısı ’dır. ¸Sekilden izlenirse,

 =  sin  ve  = ise
cos  u
µ ¶ x
1 . . b
 +  =  · sin  + (∗) .
cos  a y x+y v
. θ .
olur. a b