Page 240 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2006 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 239

Di˘ ger taraftan, yine ¸sekilden izleyerek
 + 
 =( + )sin  ve  =
cos 
e¸sitliklerinden
µ ¶
1
 =  +  =( + ) sin  +
cos 
( + )
bulunur. Bu son e¸sitlikte, (∗) e¸sitli˘ gi kullanılırsa,  =( + ) · e¸sitli˘ ginden,

√
 +  =  bulunur.
14. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere, 2006 ’dan küçük olup,
a · b − 2006
a + b
¸ seklinde gösterilebilen kaç pozitif tamsayı vardır?
 ·  − 2006
Çözüm :  = olsun. Bu durumda,
 + 
 ·  +  ·  =  ·  − 2006
 ·  + 2006
e¸sitli˘ ginden  = olur. Burada,  −  =1 yani,  =  +1 alınırsa,
 − 
 =  ·  + 2006 =  ( + 1) + 2006 olur ve bu ¸sekilde alınmı¸s  ve  pozitif
 ·  − 2006
tamsayıları için  = olur. Yani,  =  +1 ve  =  ( + 1) + 2006
 + 
 ·  − 2006
alınarak, tüm pozitif tamsayılar ¸ seklinde gösterilebilir.
 + 

15. a  = n 2 +5, (n =1, 2, 3, ...) dizisi verilsin. Her n için a  ve a +1
sayılarının OBEB ’i d  ile gösterilsin. d  ’nin alabilece˘ gi en büyük de˘ ger
kaçtır?
Çözüm : Öklid algoritmasını kullanalım.
¡ ¢ ¡ ¢
2
2
2
  =(   +1 )=  +5 +2 +6 =  +5 2 +1
¤
£ ¡
¢
olaca˘ gından,   | 2  +5 −  (2 +1) =10 −  olur. Buna göre,
2
  | (2 +1) ve   | (10 − )
olmasından dolayı,   | ((2 +1) + 2 (10 − )) = 21 ⇒   | 21 olur. Demek ki,
her  için,   ≤ 21’dir.   =21 olan duruma bir örnek verelim.   | (10 − )
olması göz önüne alınarak,  =10 yazılırsa,
2
2
 10 =10 + 5 = 105 = 21 · 5;  11 =11 + 5 = 126 = 21 · 6
ve dolayısıyla  10 =( 10  11 )= 21 olur.