Page 242 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2006 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 241

Çözüm :  =2 dersek,  =5 B
b
b
olur. || = || + || e¸sitli˘ ginden,
[] üzerinde || = || ve || = D
|| sa˘ glanacak biçimde  noktasının var­ .
lı˘ gı çıkar. O halde, || = || olur.
¸ Simdi, α 5α
α C
A N
◦
180 − 2
◦
 =  = =90 − ;
b
b
2
180 − 5 5
◦
◦
 = =90 −
b
2 2
ve bu ikisinden de
µ ¶
5 5
◦ ◦ ◦
b
 =  = 180 − 90 −  +90 − =  +
b
2 2
µ ¶
5
◦
bulunur. Sonuç olarak, 2 +5 +(90 − )+  + = 180 ◦ e¸sitli˘ ginden,
2
19 = 180 bulunur ki, buradan 19 =19 · 2 = 360 elde edilir.
◦
◦
b
2
3
19. x −y =2y +1 denkleminin tamsayılarda kaç çözümü vardır?
3
Çözüm :  =  +2 +1 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan  ve  için  oldu˘ gu açıktır.
2
3
3
  +1 olamayaca˘ gından,  ≥  +1 olmalıdır. Yani,
3 3 3 2
( +1) ≤  =  +2 +1
sa˘ glanmalıdır. Buradan,  +3 ≤ 0 olur. Bu e¸sitsizlikten, −3 ≤  ≤ 0 bulunur.
2
 =0 için,  =1;  = −1 için  =2 olur ki, tamsayı çözüm yoktur.  = −2 için
3
3
3
 = −8+8+1 e¸sitli˘ ginden  =1 ve son olarak,  = −3 için,  =−27+18+1=−8
e¸sitli˘ ginden  = −2 bulunur. O halde, denklemin tamsayılarda (1 0)  (1 −2) ve
(−2 −3) olmak üzere, 3 çözümü vardır.
20. −2 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 1 ve −1 ≤ z ≤ 1 olmak üzere, tüm (x, y, z)
tamsayı üçlülerini gözönüne alalım. Bir (x, y, z) üçlüsü için x, y ve z ’nin
en büyü˘ gü ile en küçü˘ günün toplamına bu üçlünün "gücü" diyelim. Örne˘ gin,
(3, −1, 0) ’ın gücü 3+ (−1) =2 ’dir. Yukarıdaki gibi olu¸sturulan tüm üçlülerin
"güçler" toplamı nedir?
Çözüm : −2 ≤  ≤ 2  −1 ≤  ≤ 1 ve −1 ≤  ≤ 1 e¸sitsizliklerini sa˘ glayan
(  ) üçlülerinin güçler toplamı sıfırdır. Çünkü, bu durumda, her (  ) üçlüsünün
merkeze ((0 0 0) noktasına) göre simetri˘ gi olan (− − −) noktası da bu kümeye
ait oldu˘ gundan, bu iki noktanın güçler toplamı sıfır olur. Böylece, verilen tüm üçlü­
lerin güçler toplamı  =3 −1 ≤  ≤ 1 ve −1 ≤  ≤ 1 olan üçlülerin güçler
toplamına e¸sittir. Bu toplamı hesaplamak için, 9 üçlünün hepsini açık yazarak, güç­
lerini hesaplayalım. Bu üçlüler, (3 −1 −1), (3 −1 0), (3 −1 1)  (3 0 −1),(3 0 0),
(3 0 1)  (3 1 −1), (3 1 0), (3 1 1) oldu˘ gundan, bunların güçleri sırasıyla, 2, 2, 2,
2, 3, 3, 2, 3, 4 olur ki, bunların toplamı 23’tür.