Page 241 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

240 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

16. a 11 =0 ve a 14 =21 olmak üzere, A = (a 1 ,a ,a , ..., a ,...) reel sayı
¡ 2 3  ¢
∗
dizisi için,  dizisi; A = a 2 −a 1 ,a −a 2 ,a −a 3 , ..., a −a  , ... ¸sek­
∗
3 4 +1
linde tanımlanıyor. (A ) dizisinin tüm terimleri 1 ’e e¸sitse, a 1 kaçtır?
∗ ∗
Çözüm :  2 −  1 =  diyelim. Bu durumda,
 =(  +1 +2 +3   +( − 1)  )
∗
olur. Buradan,
 =( 1  1 +   1 +  +( +1) )
oldu˘ gu görülür. Dolayısıyla,  dizisinin ’inci terimi
  =  1 +( − 1)  +(1+2+ ·· · +( − 2))
( − 1)
=  1 +( − 1)  + ( − 2)
2
formülüyle bulunabilir. ¸Simdi,
 11 =0 ⇒  1 +10 + 10·9 =0 ⇒  1 +10 = −45
2
 14 =21 ⇒  1 +13 + 13·12 =21 ⇒  1 +13 = −57
2
e¸sitliklerinden  = −4 ve  1 = −5 bulunur.

17. A karesinde bulunan bir karınca, ¸sekildeki gibi, B

sadece üç yönde hareket edebilmektedir. Taralı kare­
lerden geçmemek ko¸suluyla, karınca B karesine kaç A
farklı yoldan ula¸sabilir?
Çözüm :  karesinden ba¸slayarak, her kare üzerine, o kareye getiren yollar sayısını
yazarsak, ¸sekildeki gibi bir tablo ortaya çıkar. Demek ki,  karesine getiren yollar
sayısı 80’dir.

80
40 24
15 16 8
4 9 4
1 2 7 4
x+y+z 1 4
1 3
y z
1 1
x
A
18. Bir ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayı olup, 5m(A)=2m(C) ve
b
b
b
|AC| − |CD| = |AB| ’dir. Buna göre, 19 · m(A) kaçtır?
b