Page 243 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 243
2007 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri
1. xoy koordinat sisteminde 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 4 olmak üzere, kö¸seleri
tamsayı koordinatlı (x, y) noktalarında bulunan kaç üçgen vardır?
Çözüm : o koordinat sisteminde 1 ≤ ≤ 4 1 ≤ ≤ 4 ¸seklindeki, ( ) tam
koordinatlı noktalardan olu¸san tüm üçlülerin sayısı,
16 · 15 · 14
¡ ¢
16 = = 560
3 6
dır. Bu sayıdan, bir do˘ gru üzerinde bulunan noktaların olu¸sturdu˘ gu üçlüler sayısını
çıkarmalıyız. Söz konusu do˘ grular, 4 satır, 4 sütun, 2 kö¸segen ve bu iki kö¸segene
paralel iki¸ser do˘ gru parçalarıdır. Böylece, 560’dan çıkarmamız gereken sayı,
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢
4
3
4
4
4 +4 +2 +4 = 32+8+4 = 44
3 3 3 3
olur. Buna göre, üçgen sayısı, 560 − 44 = 516 bulunur.
2
2. x +x y +y =24 ve x −xy + y =6 e¸sitliklerini sa˘ glayan x ve y reel
2
4
2
2
4
¯ ¯
¯ 3
sayıları için x +y 3¯ ifadesi kaçtır?
¡ ¢¡ ¢
2 2
2
2
4
4
Çözüm : + + = + + 2 − + 2 özde¸sli˘ ginden,
¡ 2 2 ¢ ¡ 2 2 ¢
24 = 6 · + + ⇒ + + =4
elde edilir. + + =4 ve − + =6 e¸sitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
2
2
2
2
+ =5 ve taraf tarafa çıkarılırsa, = −1 elde edilir. O halde,
2
2
¯ ¯ ¯ ¡ ¢¯
2
¯ 3 3¯ = ( + ) − + 2 ¯ = |6( + )|
+
¯
oldu˘ gundan, + de˘ gerini bulmalıyız. Buradan,
√
2 2 2
( + ) = + +2 =3 ⇒ | + | = 3
¯ ¯ √
¯ 3
ve + 3¯ =6 3 bulunur.
3. (y − x)(y + x) =51 + 6y denkleminin tamsayılarda kaç tane (x, y) çözümü
vardır?
Çözüm : ( − )( + )= 51 + 6 e¸sitli˘ gi düzenlenirse, sırasıyla
¡ 2 ¢ 2
− 6 +9 − =60
( − 3 − )( − 3+ )= 2 · 2 · 3 · 5
olur. ( − 3 − ) ve ( − 3+ ) çarpanlarından her ikisi de ya tek ya da çifttir.
Ohalde,
½ ½
− 3 − = ±2 − 3 − = ±30
− 3+ = ±30 − 3+ = ±2
