Page 244 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2007 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 243

½ ½
 − 3 −  = ±10  − 3 −  = ±6
 − 3+  = ±6   − 3+  = ±10
denklem sistemlerinden, denklemin tamsayılarda 8 çözümü oldu˘ gu görülür.

4. a 1 =1,a 2 = a 1 + (1+2) ,a 3 = a 2 + (1+2+3) , ..., a  = a −1
+ (1+2+ ··· + n) , ... olmak üzere, A = {a 1 ,a ,a , ..., a ,a } kümesini
40
41
2
3
olu¸sturalım. A kümesinden, toplamları çift sayı olan iki eleman kaç farklı ¸se­
kilde seçilebilir?
Çözüm :  + ’nin çift olması için,  ve  ’nin her ikisi de çift veya her ikisi de tek
olmalıdır.  kümesindeki tek ve çift sayıların sayısını bulalım.
 1 ≡ 1(mod2)  2 ≡ 0(mod2)  3 ≡ 0(mod2)
 4 ≡ 0(mod2)  5 ≡ 1(mod2) 
oldu˘ gu kolayca görülebilir. Yani,  ≡ 1(mod4) için,   ≡ 1(mod2) ve di˘ ger ’ler
için   ≡ 0(mod2) olup, mod 2’de (  ) dizisi ¸söyle yazılabilir:
1,0,0,0,1,0,0,0,1,....

Ohalde,  1  2    41 sayıları içinde 11 tane tek sayı ve 30 tane çift sayı vardır.
Buradan, toplamları çift olan iki eleman
11 · 10 30 · 29
+ =490
2 2
farklı ¸sekilde seçilebilir.

2
5. x 999 −x 666 +x 111 polinomunun x −x +1 polinomuna bölünmesiyle elde
edilen bölümün, tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı kaçtır?
¡ ¢
Çözüm :  +1 = ( +1)  −  +1 özde¸sli˘ ginden,
3
2
¡ 2 ¢
3
 ≡−1 mod  −  +1
¡ ¢
elde edilir. Buradan,  −  +1 modunda,
2
¡ 3 ¢ 37
111
 =  ≡−1
¡
 666 =  3 ¢ 222 ≡ 1
¡
 999 =  3 ¢ 333 ≡−1
¡
¢
2
olur. Yani,  999 −  666 +  111 ≡−3 mod  −  +1 olur. Buna göre,
¡ 999 666 111 ¢ ¡ 2 ¢
 −  +  =  −  +1  ()+  ()
e¸sitli˘ ginden,  ()= −3 oldu˘ gu görülür.
¡ 999 666 111 ¢ ¡ 2 ¢
 −  +  =  −  +1  () − 3
e¸sitli˘ ginden,