Page 246 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2007 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 245

¸ Simdi, küçük çemberin yarıçapına  diyerek,
yukarıdaki formülü üç kez kullanırsak,
√
|| =2 9
√ .
|| =2 4
√ .
|| =2 4 · 9 9
olur. || = || + || e¸sitli˘ ginden, . r 4
√ √ A C B
2 · 6=2 · 3  +2 · 2 
√
e¸sitli˘ ginden, 5  =6 ve buradan da  =3625 elde edilir.

2
8. p <p < ··· <p sayıları (50!) sayısının tüm asal çarpanları olsun.
1 2 
2
(50!) sayısının en büyük tek çarpanına bölümünden elde edilen sayı m olmak
üzere, n · p 100! + (n − 1) ·p 100! + ··· +2 · p 100! +1 · p 100! toplamının m ile
2
−1

1
bölümünden kalan kaçtır?
2
Çözüm : (50!) sayısının en büyük asal çarpanı 47’dir. Tüm asal çarpanları ise, 2 3
5 7  43 47 sayılarıdır ve bunların sayısı 15’dir. O halde,
 1 =2 2 =3   15 =47
2
olur. (50!) sayısının en büyük tek çarpanına bölümünden elde edilen sayı (50!) 2
2
sayısının içindeki 2’nin en büyük kuvvetidir. (50!) sayısının içinde, 2 çarpanı,
µ»¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼ »¹ ¯ ¯ º¼¶
¯ 50 ¯ ¯ 50 ¯ ¯ 50 ¯ ¯ 50 ¯ ¯ 50 ¯
2 ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ = 2 (25+12 +6+3+1) = 94
2 4 8 16 32
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
tane oldu˘ gundan,  =2 94 olur. O halde,
15 · 2 100! +14 · 3 100! + ··· +2 · 43 100! +1 · 47 100!
ifadesinin 2 94 ile bölümünden kalanı bulmalıyız. Euler teoremine göre, ( )=1
oldu˘ gunda,  () ≡ 1(mod ) oldu˘ gunu biliyoruz. Buna göre,  1 =2 haricin­
¡ ¢
deki tüm   asal çarpanları için,  2 94 =2 93 ve ayrıca 100! = 2 97 ·  ( ∈ N)
oldu˘ gundan,
¡
 100! ≡  2  97  ≡ 1 mod 2 94 ¢

¡
olur ve 2 100! ≡ 0 mod 2 93 ¢ oldu˘ gundan,
15 · 2 100! +14 · 3 100! + ·· · +2 · 43 100! +1 · 47 100!
¡ 94 ¢
≡ 14 · 1+13 · 1+ ·· · +2 · 1+1 mod 2
14 · 15 ¡ 94 ¢
≡ ≡ 105 mod 2
2
elde edilir.