Page 258 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2008 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 257

µ ¶
1 1
14. a> 0,b > 0 ve c ∈ [0, 7] için, (a + b) + ifadesinin
ca + b cb + a
alabilece˘ gi en küçük de˘ ger nedir?
µ ¶
1 1
Çözüm :  0  0 ve  ∈ [0 7] için, ( + ) + ifadesinin
 +   + 
alabilece˘ gi en küçük de˘ geri arıyoruz. Aritmetik ­ geometrik ortalama e¸sitsizli˘ ginden,
r
1 1 1
+ ≥ 2
 +   +  ( + )( + )
yazılabilir. Di˘ ger taraftan, yine Aritmetik ­ geometrik ortalama e¸sitsizli˘ ginden,
p  +  +  +  ( + )( +1)
( + )( + ) ≤ =
2 2
elde edilir. Bu iki e¸sitsizli˘ gi taraf tarafa çarparsak,
µ ¶
1 1 ( + )( +1)
+ ≥ 2
 +   +  2
bulunur. Böylece,  =7 alınarak, ifademizin en küçük de˘ geri 4 ( +1) = 12
bulunur.

1
3
2
15. |x| < 1 için 1+ x + x +x + ··· = formülünden yararlanarak,
1 − x
¡ ¢ 1 ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 5 ¡ ¢ 7 ¡ ¢ 9 ¡ ¢ 11
1
1
1
1
1
1
2 +3 +4 +5 +6 +7 + ···
2 2 2 2 2 2
sonsuz toplamını hesaplayınız.
¡ ¢ 1 ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 5 ¡ ¢ 7 ¡ ¢ 9 ¡ ¢ 11
1
1
1
1
1
1
Çözüm :  =2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2 +7 2 + ·· · olsun. Bu
ifadeyi 4 ile çarparsak,
¡ ¢ ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 5 ¡ ¢ 7 ¡ ¢ 9
1
1
1
1
1
4 =4 + 3 +4 +5 +6 +7 + ···
2 2 2 2 2
bulunur. Buradan,
³ ´
¡ ¢ ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 5 ¡ ¢ 7 ¡ ¢ 9
1
1
1
1
1
4 −  =4 + + + + + + ···
2 2 2 2 2
1 ³ ¡ ¢ 2 ¡ ¢ 4 ¡ ¢ 6 ´
3 =4 + 1+ 1 + 1 + 1 + ·· ·
2 2 2 2
1 ³ ¡ ¢ 2 ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 4 ´
1
=4 + 1+ + 1 + 1 + 1 + ···
2 4 4 4 4
1
3
2
elde edilir. ||  1 için 1+  +  +  + ··· = formülünü kullanırsak,
1 − 
¡ ¢ 2 ¡ ¢ 3 ¡ ¢ 4 1 4
1
1+ + 1 + 1 + 1 + ·· · = =
4 4 4 4 1 − (14) 3
1 4 14
olur ki, 3 =4 + · denkleminden  = bulunur.
2 3 9