Page 254 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 254
2008 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri 253
4. a 1 =2 ve a 2 ,a , ··· ,a ,a 10 sayıları {0, 1} kümesinin elemanları olmak
9
3
üzere, a 1 a 2 ··· a 9 a 10 on basamaklı sayılarını dü¸sünelim. Bu sayıların kaç tanesi
için, a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 e¸sitli˘ gi sa˘ glanır?
Çözüm : 1 =2 ve 2 3 ·· · 9 10 sayıları {0 1} kümesinin elemanları olmak
üzere, 1 2 ·· · 9 10 on basamaklı sayılarını dü¸sünelim.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10
e¸sitli˘ ginde 2 3 ··· 9 10 ∈ {0 1} ve 1 =2 olarak verilmi¸s. O halde,
2+ 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10
e¸sitli˘ gine göre, =0 1 2 3 için, e¸sitli˘ gin solunda tane 1 varsa, sa˘ gında da +2
tane 1 olmalıdır. Buna uygun olarak tüm durumların sayısı
¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢
4 5 + 4 5 + 4 5 + 4 5 =1 · 10 + 4 · 10 + 6 · 5+4 · 1=84
0 2 1 3 2 4 3 5
olarak bulunur.
x y x 3
5. +4 =2 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x ve y de˘ gerleri için, oranı kaçtır?
y x y 3
Çözüm : +4 =2 e¸sitli˘ gini düzenlersek, − 2 +4 =0 elde edilir. Bu
2
2
e¸sitli˘ gin her iki tarafını ( +2) ile çarpalım. Böylece,
¡ ¢
3
3
2
( +2) − 2 +4 2 = +8 =0
e¸sitli˘ ginden, = −8 elde edilir. Buradan, oranı −8 olarak bulunur.
3
3
3
3
6. f (x) =1/ (4 +2) fonksiyonu verilsin. 1111’den küçük ve 1111 ile ara
larında asal olan pozitif tamsayıları için,
µ ¶ µ ¶
k 1111 − k
a = f +f
1111 1111
sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm : ()= 1 (4 +2) fonksiyonundan
¡ 1− ¢
(1 − )= 1 4 +2 =4 (4 + 2 · 4 )
olur. Buradan,
1 4 1
()+ (1 − )= + =
4 +2 2(2 + 4 ) 2
elde edilir. Soruda, 1111’den küçük ve 1111 ile aralarında asal olan pozitif tam
sayıları için,
µ ¶ µ ¶
1111 −
= +
1111 1111
sayılarının toplamı soruluyor. = 1111 ise, 1− = (1111 − ) 1111 olacaktır. O
halde, 1111’den küçük olan ve 1111 ile aralarında asal olan tüm de˘ gerlerini bulalım.
Bu sayı Euler fonksiyonu olmak üzere, (1111)’e e¸sittir.
