Page 257 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
P. 257
256 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları
11. 5 × 7 dikdörtgeni satranç tahtasında oldu˘ gu gibi, 1 × 1 karelere (birim
karelere) bölünmü¸stür. Bir veya birkaç birim kareden olu¸san tüm dikdörtgenleri
dü¸sünelim. Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı kaçtır?
Çözüm : 5×7 dikdörtgeni satranç tahtasında bir veya birkaç birim kareden olu¸san tüm
dikdörtgenlerin alanlar toplamını bulaca˘ gız. Yatay kenarlar içerisinde uzunlu˘ gu 7 olan
1, uzunlu˘ gu 6 olan 2, uzunlu˘ gu 5 olan 3 vb. dikdörtgen vardır. Benzer ¸sekilde, dikey
kenarlar içinde de uzunlu˘ gu 5 olan 1, uzunlu˘ gu 4 olan 2 vb. dikdörtgen vardır. Alanlar
bu dikey kenarlar ile yatay kenarların çarpımıyla olu¸saca˘ gından, tüm dikdörtgenlerin
yatay kenarları toplamıyla, dikey kenarları toplamının çarpımı bize isteneni verecektir.
Buna göre, yatay kenarlar toplamı,
1 · 7+2 · 6+ ·· · +7 · 1= 84
dikey kenarlar toplamı da,
1 · 5+2 · 4+3 · 3+4 · 2+5 · 1=35
oldu˘ gundan tüm dikdörtgenlerin alanları toplamı 35 · 84 = 2940 olur.
12. Yazı tahtasında yazılmı¸s bir sayı için, her hamlede bu sayı silinip onun yerine
karesi ya da iki katı yazılıyor. Ba¸slangıçta, tahtaya 1 yazılmı¸ssa, 2 111 sayısını elde
etmek için en az kaç hamle yapmak gerekir?
Çözüm : Tersinden giderek en az adımda 1’e ula¸smaya çalı¸salım.
√ 2 √ 2 √ 2 √ √ 2 √ 2
2
2 111 →2 110 →2 55 →2 54 →2 27 →2 26 →2 13 →2 12 →2 →2 →2 →2 →1
6
1
2
3
Görüldü˘ gü gibi, hamle sayısı en az 12’dir.
µ ¶
¡ ¢ 1 1 1
2
13. x + x +x 3 + + + =28 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x reel sayısı için
x x 2 x 3
2
(2x − 3) kaçtır?
µ ¶
¡ ¢ 1 1 1 1
2
Çözüm : + + 3 + + + =28 denkleminde + = diyerek,
2 3
denklemi bilinmeyenine göre yazalım. +1 = ise,
1 1
2
2
3
3
+ = − 2 ve + = − 3
2 3
oldu˘ gu kolayca bulunabilir. Buna göre denklem,
¡ ¢
2
3
2
+ − 2 − 30 = ( − 3) 4 + +10 =0
haline dönü¸sür. Buradan, =3 bulunur. O halde, +1 =3 denkleminden,
2
=3 − 1 bulunur. Soruda (2 − 3) =4 − 12 +9 istendi˘ ginden,
2
2
2
(2 − 3) =4 (3 − 1) − 12 +9 = 5
bulunur.
