Page 259 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

258 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları

16. Bir üçgenin kenarortaylarının uzunlukları 15, 18 ve 21 olsun. Bu üçgenin
alanını bulunuz.
Çözüm : Kenarortaylar kesi¸sim noktasında, yani a˘ gırlık
merkezinde 2/1 oranında bölünürler. Verilen üçgeni ¸sek­ 6
ildeki gibi alanları e¸sit 12 üçgene ayırabiliriz. O halde 5 S
taralı üçgenin alanını bulursak, 12 katını alarak üçgenin 6 7
alanını bulmu¸s oluruz. Taralı üçgenin alanı  =9 için,
√ √
 = √ 9 · 4 · 3 · 2= 6 6 olaca˘ gından tüm üçgenin alanı
√
12 · 6 6=72 6 olur.
17. n do˘ gal sayısının kaç tane de˘ geri için,
⎧
⎨ x 1 +x 2 + ··· + x  =9
1 1 1
+ + ··· + =1
⎩
x 1 x 2 x 
denklem sisteminin pozitif reel sayılarda çözümü vardır?
1 1 1
Çözüm :  1 +  2 + ·· · +   =9 ve + + ·· · + =1 e¸sitliklerini
 1  2  
 1 +  2 + ·· · +   
≥
 1 1 1
+ + ··· +
 1  2  
2
aritmetik ­ harmonik ortalamalar e¸sitsizli˘ ginde kullanırsak,  ≤ 9,yani  ≤ 3
bulunur.  =1 için, çözüm yoktur.  =2 için,
1 1
 1 +  2 =9 ve + =1
 1  2
√
denklemlerinden,  12 =(9 + 45)2 bulunur.  =3 için,  1 =  2 =  3 =3 bir
çözümdür. Yani, sadece 2 tane  de˘ geri için çözüm vardır.
18. Q rasyonel sayılar kümesi olmak üzere, f : Q → Q fonksiyonu, her x, y ∈ Q
için f (x + y)−10 = f(x)+f(y) ve f (1) =1 e¸sitliklerini sa˘ glasın. Buna göre,
f (10/11) sayısı kaçtır?
Çözüm :  : Q → Q fonksiyonu, her   ∈ Q için  ( + ) − 10 =  ()+  ()
ve  (1) = 1 e¸sitliklerini sa˘ glıyor. Bu e¸sitlik,
 ( + )+ 10 = ( ()+10)+( () + 10)
biçiminde yazılıp,  ()+ 10 =  () denilirse,
 ( + )=  ()+  ()
e¸sitli˘ gi elde edilir. Buna göre,  ()=  (1) olmalıdır.  (1) = 11 oldu˘ gundan,
 ()= 11 =  ()+10

e¸sitli˘ ginden,  ()= 11−10 olacaktır.Böylece,  (1011) = 11·(1011)−10 = 0
bulunur.