Page 253 - ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2008 Birinci A¸sama Sorularının Çözümleri

1. Altı basamaklı x = abcabc ve dört basamaklı y = d00d sayıları için, √ x + y
tamsayı olacak biçimde kaç tane (x, y) ikilisi vardır?
Çözüm : Altı basamaklı  =  ve dört basamaklı  = 00 sayılarını,
 = 1001 ·  ve  = 1001 · 
biçiminde yazabiliriz. Buradan,
q
√ ¡ ¢
 +  = 1001  + 
elde edilir ki, bu ifadenin tamsayı olabilmesi için,  +  = 1001 olması gerekir. Bu
ise  =  =9 ve  +  =11 durumunda mümkündür.  ∈ {9 8  2} için,  de bir
rakam olacaktır. Böylece, istenilen ¸sekilde sekiz tane ( ) ikilisinin oldu˘ gu görülür.

2. ABCD yamu˘ gunda BC // AD, |BC| =2, |AD| =7, |AC| =5 ve
|BD| =6 ’dır. Yamu˘ gun alanı kaçtır?

Çözüm :  yamu˘ gunda  // B 2 C
 || =2 || =7 || =5
ve || =6 olarak verilmi¸s. ¸Simdi,
[] do˘ gru parçasına [] paralelini 5
çizelim.  ve  üçgenlerinin
alanı e¸sit oldu˘ gundan Alan()= A 7 D E
 () olacaktır. Buradan,
M p
Alan()= ()=  ( − )( − )( − )
√
formülünde,  =5 =6,  =9 ve  =10 yazılırsa, yamu˘ gun alanı 10 2 olarak
bulunur.

10
3. n =1 · 10 +2 · 10 10 2 +3 · 10 10 3 + ··· +9 · 10 10 9 +10 · 10 10 10 sayısının
7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm :  =1 · 10 10 +2 · 10 10 2 +3 · 10 10 3 + ··· +9 · 10 10 9 +10 · 10 10 10 sayısının
¡ ¢ 
6
mod7’deki de˘ gerini bulaca˘ gız. 10 ≡ 1(mod7) oldu˘ gundan, 10 6 ≡ 1(mod7)
olur. O halde, verilen ifadede üslerin 6’e bölümünden kalanları inceleyece˘ giz. Üsler
 =1 2 10 için, 10  formundadır.
2
1
10 ≡ 4(mod6)  10 ≡ 4(mod6)  
oldu˘ gundan, 10  ≡ 4(mod6) olacaktır. Buradan,  sayısını mod7’de
4
4
4
4
4
 ≡ 1 · 10 +2 · 10 +3 · 10 + ··· +9 · 10 +10 · 10 (mod 7)
biçiminde yazabiliriz. Böylece,  ≡ 10 ·(10 · 112) = 55·10 ≡ 3(mod7) bulunur.
4
4